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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS !Rn
1.4.3 Ouverts de ~n
Définition 1.17 Une partie 0 de E est dite ouverte si elle vérifie la propriété
suivante:
XE 0 ===} 3rx E ~+, Bk(X,rx) C 0
Cette définition signifie que dès que 0 contient un élément X, alors il contient
nécessairement toute une boule centrée en X.
Apparemment, cette notion dépend de la norme considérée. Mais en fait, d'après
la remarque 1.4.1 (p.12), puisque toute boule d'un type en contient d'autres
de même centre des autres types, si un ensemble est ouvert au titre d'une des
normes, il est ouvert également pour les autres normes et on dit simplement qu'il
est ouvert.
Proposition 1.18 Toute boule ouverte est un ensemble ouvert
Preuve Cette démonstration se fera en utilisant une quelconque des normes et
sans la numéroter.
Soit B = B(Xo, r) une boule ouverte pour la norme N =li· li· Soit XE B. Par
définition, 8 = d(X, Xo) < r. Posons rx = r - 8 > O. Alors la boule B(X, rx) est
incluse dans B. En effet, soit Y E B(X, rx ), alors par l'inégalité triangulaire,
(1.5)
d(Y, Xo) ~ d(Y, X)+ d(X, Xo) = d(Y, X)+ 8. Or, d(Y, X) < rx par définition
de la boule ouverte B(X,rx). Donc d(Y,Xo) < rx + 8 = r - 8 + 8 = r et
Y E B(Xo,r) =B.
D
Remarque : Cette proposition est rassurante, et elle justifie a posteriori la
pertinence des dénominations. Il ne faudrait surtout pas croire que l'adjectif
« ouverte » dans boule ouverte est à lui tout seul une preuve de la proposition.