1.4 ÜUVERTS, FERMÉS, BORNÉS, VOISINAGES DANS .!Rn
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(1.4)
Remarque : Lorsque le contexte aura privilégié un des trois types de norme, on
s'abstiendra de préciser à chaque fois laquelle, et on notera simplement N au lieu
de Nk, d au lieu de dk, llXll au lieu de llXllk, B(Xo, r) au lieu de Bk(Xo, r) etc.
C'est en général la norme euclidienne qui sera ainsi privilégiée.
1.4.2 Parties bornées
Définition 1.15 Une partie de ]Rn est bornée lorsqu'elle est incluse dans une
boule.
Grâce à la remarque 1.4.1, il est clair que cette définition ne dépend pas de la
norme considérée. On peut aussi clairement utiliser des boules ouvertes ou fermées
sans changer cette notion de partie bornée.
Proposition 1.16 Une partie P de ]Rn est bornée si et seulement si il existe
R > 0 tel que \IXE P, on a llXll ~ R.
Preuve La remarque 1.4.1 permet de ne pas spécifier quelle norme on utilise.
Si on a VX E P, llXll ~ R, cela signifie que P c B(O, R) (en posant 0 = ÜJRn)
donc P est une partie bornée.
Si Pest bornée, alors il existe Xo et r tel que P c B(Xo, r).
Soit alors R = r + d(Xo, 0) = r + llXoll· Alors pour tout X E P, puisque
XE B(Xo,r), on a llX -Xoll ~ r et donc
llXll = ll(X - Xo) + Xoll ~ llX - Xoll + llXoll ~ r + llXoll = R.
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