12
(1.2)
(1.3)
CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS Rn
Y&""r __ - - - - _ - + - - - - - - + -
Yo -----------~
1
1
1
- - - - - - - -+---,---+y - - - - -
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> Boules pour la norme somme : ce sont aussi des carrés, mais « posés sur la
pointe ». Voir la figure ci-dessus ; la démonstration un peu technique est laissée
en exercice (voir exercice 1. 7.)
Boules usuelles dans ~ 3
On montre sans grande difficulté que les boules euclidiennes sont de « vraies »
boules, limitées par des sphères, que les boules pour la norme du max sont des
cubes, et avec un peu plus de mal, on peut établir que les boules pour la norme
somme sont des octaèdres.
Remarque : La propriété d'équivalence des trois normes usuelles est illustrée par
la figure de la page suivante, qui illustre qu'à l'intérieur de toute boule pour une
des normes, on peut en inclure une autre, de même centre, pour une des autres
normes. Réciproquement, toute boule pour une des normes est incluse dans une
autre boule de même centre, pour une des autres normes. Cette propriété est vraie
en dimension quelconque. Nous verrons dans la suite l'intérêt de cette possibilité.