1.4 ÜUVERTS, FERMÉS, BORNÉS, VOISINAGES DANS !Rn
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Boules usuelles en dimension 2
Une remarque préliminaire s'impose : entre une boule ouverte et une boule fermée,
la différence est «mince». On a bien sûr Bk(xo, r) c Bk(xo, r) et seuls les X qui
sont exactement à la distancer de Xo sont dans la boule fermée Bk(Xo, r) et pas
dans la boule ouverte Bk(Xo, r).
D'autre part, pour une bonne compréhension de ces notions il est utile de se placer
systématiquement dans un repère orthonormé.
Yo
(1.1)
Boules Euclidiennes : ce sont les plus simples à concevoir, car ce sont des
disques, ouverts ou fermés, selon le cas, c'est-à-dire sans ou avec le cercle frontière.
Pour s'en convaincre, il suffit de considérer l'inéquation caractérisant une boule :
Il est bien connu que cette dernière inéquation caractérise le disque fermé de rayon
r et de centre le point de coordonnées (x1,o, x2,o). (Vous connaissez sans doute
mieux ce résultat en nommant (x, y) les coordonnées : (x - x0 ) 2 +(y - y0 ) 2 ~ r 2
caractérise le disque fermé limité par le cercle d'équation (x-x 0 )2+(y-y0 ) 2 = r 2 .)
Boules pour la norme du max: ce sont des carrés. En effet,
{
lx - xol < r
llX - Xolloo < r {::=:} max(lx - xol, IY - Yol) < r {::=:}
I
1
y-yo < r.
Or, lx - xol < r caractérise une bande verticale de largeur 2r, limitée par les deux
droites verticales x = xo - r et x = xo + r. De même, IY - Yol < r caractérise
une bande horizontale de largeur 2r, limitée par les deux droites horizontales
y = Yo - r et y = Yo + r. L'intersection de ces deux bandes est un carré dont le
centre est le point Xo(xo, Yo).