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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS !Rn
À la norme du max N00 correspond la distance d00 de :!Rn définie par :
À la norme somme Ni correspond la distance di de :!Rn définie par :
n
di(X, Y)= Ni(X - Y)= llX - Yll1 = L lxi - Yil·
i=l
1.4 Ouverts, fermés, bornés, voisinages dans Rn
1.4.1 Boules ouvertes et fermées de ]Rn
Ces notions sont essentiellement liées à la notion de norme. Comme il y a trois
normes usuelles dans ]Rn, et pour ne pas nous répéter, nous appellerons Nk une
quelconque de ces trois normes, et dk la distance associée, étant entendu que k
vaut soit 2, soit oo, soit 1.
Boule ouverte
Définition 1.13 Pour Xo un élément de ]Rn et r un réel strictement positif. On
appelle boule ouverte de centre Xo et de rayon r, pour la norme Nk, et on note
Bk(Xo, r) le sous-ensemble de ]Rn défini par :
Boule fermée
Définition 1.14 Pour Xo un élément de ]Rn et r un réel strictement positif. On
appelle boule fermée de centre Xo et de rayon r, pour la norme Nk, et on note
Bk(Xo, r) le sous-ensemble de ]Rn défini par :
Boules dans lR
Les trois normes usuelles étant confondues dans lR avec la valeur absolue, il n'y a
qu'une seule notion classique de boules, que l'on note sans indice k.: elle correspond
à la notion d'intervalles centrés; les définitions des notions de limite, continuité
pour des fonctions de lR dans lR font largement appel à ces intervalles centrés.
Dans JR, B(xo, r) =]xo - r, xo + r[; l'inégalité lx - xol < c caractérise x E B(xo, c).
De même, B(xo, r) = [xo-r, xo+r]; l'inégalité lx-xol ~ c caractérise x E B(xo, c).