1.3 NORMES DANS !Rn
9
Remarque : Il ne faut pas croire que tous les espaces métriques sont des espaces
normés (munis d'une norme).
En effet, pour qu'il y ait une norme, l'ensemble doit avoir une structure d'espace
vectoriel, alors qu'un espace métrique n'a pas forcément de structure algébrique.
En revanche, tous les espaces normés sont des espaces métriques comme le prouve
la proposition ci-dessus.
Conséquence
IR!n est un espace métrique de trois façons : à chacune des trois normes classiques
de IR!n correspond une distance.
À la norme euclidienne N2, correspond la distance dite distance euclidienne d2 de
ffi!n:
1
d2(X, Y) = N2(X - Y) = llX - Yll2 = (~(xi - Yi) 2 )
2
C'est la distance usuelle, la seule que l'on comprenne bien intuitivement; on peut
la qualifier de distance naturelle, bien que mathématiquement, cet adjectif ait
assez peu de sens. Souvent on omet l'indice 2, et la on note simplement d.
C'est celle que l'on utilise en géométrie, lorsque le plan ou l'espace est rapporté à
un repère orthonormé :
Si A et B sont deux points du plan [de l'espace],
Remarque : On peut à cette occasion justifier ici le terme inégalité triangulaire :
Si ABC est un triangle; si on pose 11 =AB; 1J = Bê et donc 11+1J = Aê,
l'inégalité triangulaire s'écrit
Elle exprime le résultat classique que dans un triangle, la longueur d'un côté
est inférieure à la somme des deux autres longueurs de côtés ou encore plus
prosaïquement que la ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point à
un autre, puisque pour aller de A vers C, il est plus court d'y aller directement
qu'en passant par B. Cette dernière interprétation n'étant d'ailleurs pas valable
avec une autre norme que la norme euclidienne.
La deuxième inégalité triangulaire exprime, elle, que dans un triangle, la longueur
d'un côté est supérieure (ou égale) à la différence des deux autres longueurs de
côtés. Avec les mêmes notations, on a :
9
Remarque : Il ne faut pas croire que tous les espaces métriques sont des espaces
normés (munis d'une norme).
En effet, pour qu'il y ait une norme, l'ensemble doit avoir une structure d'espace
vectoriel, alors qu'un espace métrique n'a pas forcément de structure algébrique.
En revanche, tous les espaces normés sont des espaces métriques comme le prouve
la proposition ci-dessus.
Conséquence
IR!n est un espace métrique de trois façons : à chacune des trois normes classiques
de IR!n correspond une distance.
À la norme euclidienne N2, correspond la distance dite distance euclidienne d2 de
ffi!n:
1
d2(X, Y) = N2(X - Y) = llX - Yll2 = (~(xi - Yi) 2 )
2
C'est la distance usuelle, la seule que l'on comprenne bien intuitivement; on peut
la qualifier de distance naturelle, bien que mathématiquement, cet adjectif ait
assez peu de sens. Souvent on omet l'indice 2, et la on note simplement d.
C'est celle que l'on utilise en géométrie, lorsque le plan ou l'espace est rapporté à
un repère orthonormé :
Si A et B sont deux points du plan [de l'espace],
Remarque : On peut à cette occasion justifier ici le terme inégalité triangulaire :
Si ABC est un triangle; si on pose 11 =AB; 1J = Bê et donc 11+1J = Aê,
l'inégalité triangulaire s'écrit
Elle exprime le résultat classique que dans un triangle, la longueur d'un côté
est inférieure à la somme des deux autres longueurs de côtés ou encore plus
prosaïquement que la ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point à
un autre, puisque pour aller de A vers C, il est plus court d'y aller directement
qu'en passant par B. Cette dernière interprétation n'étant d'ailleurs pas valable
avec une autre norme que la norme euclidienne.
La deuxième inégalité triangulaire exprime, elle, que dans un triangle, la longueur
d'un côté est supérieure (ou égale) à la différence des deux autres longueurs de
côtés. Avec les mêmes notations, on a :