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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS !Rn
Pour la démonstration de ce théorème, voir l'exercice 1.4, et son corrigé.
Signalons un théorème important mais que nous n'utiliserons pas, car on ne le
démontre pas dans ce cours et il «tue» tout un tas d'exercices :
Théorème 1.10 (admis) Dans un espace vectoriel de dimension finie toutes les
normes sont équivalentes.
Remarque : Dans le cas particulier (assez peu intéressant) où n = 1, on considère
que JR 1 = JR, et les trois normes que nous avons étudiées sont en fait les mêmes :
Pour tout x E JR, on a Ni(x) = N2(x) = Noo(x) = lxl
1.3.5 Distance dans )Rn
Nous arrivons maintenant véritablement à la mesure de l'écartement de deux
éléments de )Rn. Les normes que nous avons rencontrées jouent le rôle de la valeur
absolue dans R Pour les nombres, la mesure de l'éloignement de deux réels utilisait
la valeur absolue de la différence de ces nombres. Dans )Rn, on prendra la norme
de la différence de deux vecteurs pour apprécier leur distance. Mais tout d'abord
définissons ce qu'est mathématiquement une distance.
Définition 1.11 Soit E un ensemble; on appelle distance sur E toute application
d définie sur E x E, à valeurs dans JR, et vérifiant les 4 propriétés suivantes :
(dO) Vx,y E E d(x,y);;::: 0
(dl) d(x, y) = Ü {=:::} X= y
(d2) Vx, y E E d(x, y)= d(y, x)
(d3) Vx, y, z E E d(x, z) :::; d(x, y)+ d(y, z)
(cette dernière inégalité s'appelle aussi « l'inégalité triangulaire »).
Un ensemble dans lequel existe une distance s'appelle un espace métrique.
Dans un espace métrique, il y a aussi une deuxième inégalité triangulaire
(d3)' Vx, y, z E E ld(x, y) - d(y, z)I :::; d(x, z)
Elle se démontre un peu comme la deuxième inégalité triangulaire des espaces
normés (voir exercice 1.6).
La notion de distance est étroitement liée à celle de norme puisque l'on a la
proposition :
Proposition 1.12 Si E est un espace muni d'une norme N, alors l'application
d définie sur E x E par d(X, Y) = N(X - Y) est une distance. C'est la distance
associée à la norme N.
Preuve La démonstration de cette proposition est tout à fait évidente en
utilisant les propriétés d'une norme.
D
CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS !Rn
Pour la démonstration de ce théorème, voir l'exercice 1.4, et son corrigé.
Signalons un théorème important mais que nous n'utiliserons pas, car on ne le
démontre pas dans ce cours et il «tue» tout un tas d'exercices :
Théorème 1.10 (admis) Dans un espace vectoriel de dimension finie toutes les
normes sont équivalentes.
Remarque : Dans le cas particulier (assez peu intéressant) où n = 1, on considère
que JR 1 = JR, et les trois normes que nous avons étudiées sont en fait les mêmes :
Pour tout x E JR, on a Ni(x) = N2(x) = Noo(x) = lxl
1.3.5 Distance dans )Rn
Nous arrivons maintenant véritablement à la mesure de l'écartement de deux
éléments de )Rn. Les normes que nous avons rencontrées jouent le rôle de la valeur
absolue dans R Pour les nombres, la mesure de l'éloignement de deux réels utilisait
la valeur absolue de la différence de ces nombres. Dans )Rn, on prendra la norme
de la différence de deux vecteurs pour apprécier leur distance. Mais tout d'abord
définissons ce qu'est mathématiquement une distance.
Définition 1.11 Soit E un ensemble; on appelle distance sur E toute application
d définie sur E x E, à valeurs dans JR, et vérifiant les 4 propriétés suivantes :
(dO) Vx,y E E d(x,y);;::: 0
(dl) d(x, y) = Ü {=:::} X= y
(d2) Vx, y E E d(x, y)= d(y, x)
(d3) Vx, y, z E E d(x, z) :::; d(x, y)+ d(y, z)
(cette dernière inégalité s'appelle aussi « l'inégalité triangulaire »).
Un ensemble dans lequel existe une distance s'appelle un espace métrique.
Dans un espace métrique, il y a aussi une deuxième inégalité triangulaire
(d3)' Vx, y, z E E ld(x, y) - d(y, z)I :::; d(x, z)
Elle se démontre un peu comme la deuxième inégalité triangulaire des espaces
normés (voir exercice 1.6).
La notion de distance est étroitement liée à celle de norme puisque l'on a la
proposition :
Proposition 1.12 Si E est un espace muni d'une norme N, alors l'application
d définie sur E x E par d(X, Y) = N(X - Y) est une distance. C'est la distance
associée à la norme N.
Preuve La démonstration de cette proposition est tout à fait évidente en
utilisant les propriétés d'une norme.
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