1.3 NORMES DANS nr
7
Proposition 1. 7 Ni est une norme sur ]Rn
La démonstration de cette propriété ne présente aucune difficulté et est laissée en
exercice au lecteur (voir exercice 1.2).
Un peu de culture
Pourquoi ces différents indices 1, 2 ou oo sous le N ou après les doubles barres?
En fait, on peut définir une «norme p » pour tout p E [1, +oo[ en posant
1
Np( X) = llXllp = (~ lxilP) v ·
Il est clair que pour p = 1 ou p = 2, on retrouve la « norme somme » et la norme
euclidienne.
Dans le cas général (pour p t/. { 1, 2}), la démonstration que Np est une norme est
trop difficile à notre niveau. Je vous déconseille de vous lancer dans ce calcul :
cela butera pour établir l'inégalité triangulaire, car on a besoin d'une inégalité
comparable à celle de Cauchy-Schwarz en bien plus compliqué, la classique inégalité
de Holder.
Il est possible de montrer à notre niveau, avec un peu d'organisation que pour
X fixé, on a lim Np(X) = N00 (X). C'est cette propriété qui justifie le nom de
p---t+oo
cette dernière norme N 00 •
1.3.4 Équivalence de normes
Définition 1.8 Soient N et N deux normes définies sur ]Rn. On dit que les deux
normes sont équivalentes si il existe deux constantes strictement positives Ci, C2
telles que:
\:/XE ]Rn
On peut à la rigueur noter cette propriété par : N "' N. C'est une relation
d'équivalence dans l'ensemble de normes définies sur JRn. (La démonstration du
fait que c'est une relation d'équivalence est un excellent exercice: voir TD, exercice
1.3)
Théorème 1.9 Les normes Ni, N2 et N00 sont équivalentes.
On a pour tout X= (xi, ... , Xn) E JRn,
N00 (X) ~ N2(X) ~ Ni(X) ~ n N00 (X) ;
Noo(X) ~ N2(X) ~ Vn Noo(X) ;
N2(X) ~ Ni(X) ~ Vn N2(X) ;
N00 (X) ~ Ni(X) ~ n N00 (X).
Ces constantes ne peuvent être améliorées car pour chacune de ces inégalités, on
peut trouver un X pour lequel on a l'égalité.