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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS IR.n
Le raisonnement qui suit est très classique, et il est important de savoir le retrouver;
X et Y étant deux vecteurs de ~n fixés, on pose pour tout À E ~.
Il est clair que f (À) est un polynôme du second degré en À puisque tous les Xi et
les Yi sont des constantes, (le coefficient dominant n'est nul que si X= 0 et dans
ce cas l'inégalité de Cauchy-Schwarz est acquise puisque elle s'écrit 0 ~ 0)
Or, en tant que somme de carrés de par sa première expression, il est clair que
pour tout À E ~. on a f(À) ~ O. Mais un polynôme du second degré ne garde
un signe constant que si son discriminant est négatif, ou à la rigueur nul (si le
discriminant est positif, il y a deux racines réelles et entre ces racines ce n'est pas
le même signe qu'à l'extérieur!). On peut donc affirmer que D. ~ 0 c'est-à-dire :
d'où le résultat attendu en simplifiant par 4.
D
La Norme du Max
Proposition 1.6 N00 est une norme sur ~n
Preuve Remarquons tout d'abord que le max de la définition ci-dessus est
atteint, et que donc, il existe toujours un indice io (pas forcément unique) tel que
llXlloo = lxiol; cet indice est donc tel que pour tout i entre 1 et n, on a lxil ~ lxiol
Les points (i)' et (ii) de la définition d'une norme se vérifient aisément.
Pour le point (iii), il suffit d'écrire que pour tout X, Y dans ~n, posant Z =X+ Y,
si io est un indice tel que llZlloo = lzi 0 I, alors on a:
llX + Ylloo = llZlloo = lziol = lxio + Yiol ~ lxiol + IYiol
~ m~x lxil + m~x IYil = llXlloo + llYlloo
I~;i,,;;n
I:s;;;i:s;;;n
La Norme « Somme »
Cette norme est moins utilisée en pratique que les deux précédentes.
n
Pour tout X= (xi, x2, ... , Xn) E ~n, on pose Ni(X) = llXll1 = L lxil
i=l
D