1.3 NORMES DANS ]Rn
1.3.3 Les normes usuelles de ]Rn
La Norme Euclidienne
Pour tout X~ (x1,x2, ... ,x.) ER•, on pose N,(X) ~ llXll2 ~ ~~x1.
Proposition 1.5 N2 est une norme sur ]Rn
5
Preuve La démonstration des points (i)' et (ii) ne pose aucune difficulté. Pour
montrer l'inégalité triangulaire, on élève au carré puis on simplifie :
N2(X +Y) ~ N2(X) + N2(Y)
( iJxi + Yi) 2 ) ~ ~ (txr) ~ + (tyr) ~
i=l
i=l
i=l
n
n
(n )~(n )~ n
~(xr+2XiYi+Yf) ~ ~x;+2 ~x;
~YT + ~YT
Cette dernière inégalité est donc équivalente à l'inégalité triangulaire
Or, cette dernière inégalité est vraie, car, comme nous allons le voir, c'est une
conséquence du § qui suit.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz
n
Il est d'usage de poser X · Y = L XiYi (produit scalaire du vecteur X et du
i=l
vecteur Y).
L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit dans ce cadre :
Puisque X· Y~ IX· YI, notre inégalité en est clairement une conséquence. Pour
démontrer Cauchy-Schwarz, qui est une inégalité entre nombres positifs, on l'élève
au carré et elle est équivalente à