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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS Rn
Preuve La seule différence avec la définition étant le remplacement dans (i)
de {::::::::} par ==>, pour. établir cette proposition, il suffit de remarquer que
(ii)==> N(OE) = 0
En effet, on a N(OE) = N(O.OE) = IOIN(OE) = 0 en utilisant (ii).
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Proposition 1.3 Si N est une norme sur E, alors pour tous X et Y de E, on a
(ii)' N(-X) = N(X);
(ii)" N(X - Y)= N(Y - X);
(iii)' N(X - Y)~ N(X) + N(Y).
Preuve Pour (ii)', il suffit de remarquer que -X= (-l)X et d'utiliser (ii) :
N(-X) = N((-l)X) = 1- llN(X) = N(X).
Pour (ii)", on applique (ii)' à Y - X= -(X - Y).
Puis pour (iii)', on écrit X - Y = X + (-Y) et on applique (iii) puis (ii)' :
N(X - Y)= N(X +(-Y)) ~ N(X) + N(-Y) = N(X) + N(Y)
Proposition 1.4 (Deuxième inégalité triangulaire)
Si N est une norme sur un espace vectoriel E, alors on a :
(iv) \::/XE E \::/Y E E IN(X) - N(Y)I ~ N(X +Y)
et
(iv)' \::/XE E \::/Y E E IN(X) - N(Y)I ~ N(X - Y)
Preuve En écrivant X= (X+ Y) - Y, et en utilisant (iii)', on a
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N(X) = N((X+Y)-Y) ~ N(X+Y)+N(Y)
donc
N(X)-N(Y) ~ N(X+Y)
de même en échangeant le rôle de X et Y, on obtient
N(Y) = N((Y +X) - X) ~ N(Y +X)+ N(X)
donc N(Y) - N(X) ~ N(Y +X) = N(X +Y)
En remarquant que pour tout réel A, on a IAI = max(A, -A), et puisque l'opposé
de A= N(X) - N(Y) est -A= N(Y) - N(X), puisque ces deux nombres sont
tous deux inférieurs ou égaux à N(X +Y), le plus grand des deux est aussi majoré
par ce nombre, c'est-à-dire qu'on a
IN(X) - N(Y)I =max( N(X) - N(Y), N(Y) - N(X)) ~ N(X +Y)
(iv)' se démontre comme (iii)', en utilisant (ii)' et (iv).
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