1.3 NORMES DANS !Rn
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que le terme «vecteur» serait plus correct. Il faut accepter ces d'abus de langage
en gardant un esprit tolérant.
De la même façon, l'ensemble C des nombres complexes peut aussi être modélisé
comme l'ensemble ~.2, chaque complexez= x + iy étant associé au couple (x, y)
de JR. 2 .
1.2.4 Notation
En général, on note en ligne les éléments de JR.n, c'est-à-dire, qu'on écrit, pour
un vecteur X de JR.n, X= (x1, x2, ... , Xn)· Mais dans certaines situations, il est
plus pratique d'utiliser une notation de vecteur-colonne : en particulier en algèbre
linéaire, lorsqu'on doit multiplier par une matrice un élément de JR.n, il vaudra
mieux noter X= (J:J, la base canonique étant dans ce cas formée des vecteUT'3
1
0
0
0
0
0
, ... ,en=
0
1
. Nous serons amenés à utiliser ce type de notation
lorsqu'on manipulera les matrices jacobiennes.
1.3 Normes dans Rn
1.3.1 Définition
Définition 1.1 Soit (E, +,.)un JR.-espace vectoriel, on appelle norme sur E toute
application N de E dans JR.+ telle que :
(i) VX E E, N(X) = 0 -Ç:::::::? X= ÜE;
(ii) V>. E lR. VX E E N(>.X) = l>.IN(X);
(iii) VX E E VY E E N(X +Y) ::::; N(X) + N(Y);
(cette dernière propriété est connue sous le nom d'inégalité triangulaire).
1.3.2 Propriétés immédiates
Proposition 1.2 Pour établir qu'une application N définie sur un JR.-espace
vectoriel E est une norme, il suffit d'établir que N est à valeurs dans JR.+ (c'est-àdire que N(X) ~ 0 VX E E) et
(i)' VX E E, N(X) = 0 ===>X= ÜE;
(ii) V>. E lR. VX E E N(>.X) = l>.IN(X);
(iii) VX E E VY E E N(X +Y)::::; N(X) + N(Y).