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CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS !Rn
1.2 Qu'est-ce que ~n?
1.2.1 Définition abstraite
Mathématiquement, n étant dans tout ce chapitre un entier non nul (et si possible
au moins égal à 2) on définit lîn comme le produit cartésien de lî par lui-même n
fois : lîn est l'ensemble des n-uples de réels. Par exemple, lî 2 est l'ensemble des
couples de réels, Jî 3 l'ensemble des triplets ...
Un n-uple est une suite ordonnée den éléments, à ne pas confondre avec l'ensemble
{x1, x2, ... , Xn}· Par exemple, on doit distinguer un couple (a, b) de la paire de ses
éléments {a, b}, car (a, b) =/= (b, a) alors que {a, b} et { b, a} sont deux ensembles
égaux.
Pour X E lîn, on appelle x1, x2, ... , Xn les composantes de X.
1.2.2 Structure de lî-espace vectoriel
On munit :lîn d'une structure d'espace vectoriel sur lî, en définissant la somme de
deux n-uples de réels et le produit d'un nombre réel (un scalaire) par un n-uple de
réels : pour X et Y deux éléments quelconques de :lîn, de composantes respectives
(x1,x2, ... ,xn) et (y1,y2, ... ,yn), et pour À un scalaire quelconque, on pose
X+ Y= (x1 +Yi. X2 + Y2, · · ·, Xn + Yn)
Il est classique que ces deux opérations confèrent à lîn une structure d'espace
vectoriel.
On notera OJRn = (0, 0, ... , 0) le vecteur nul de :lîn et parfois simplement 0 ou O.
Les n vecteurs ei = (1, 0, ... , 0), e2 = (0, 1, 0, ... , 0), ... , en= (0, ... , 0, 1) forment
une base de :lîn appelée base canonique.
1.2.3 Universalité de ce point de vue
Soit E un lî-espace vectoriel de dimension n. Il existe donc une base B de E
possédant n éléments. Alors tout élément x de E est caractérisé par ses coordonnées
(x1,x2, ... ,xn) dans la base B. Ces coordonnées sont en fait un élément de :lîn.
Ce procédé définit un isomorphisme entre un espace vectoriel de dimension n et
:lîn qui est en fait le modèle des espaces vectoriels de dimension n.
De même, l'ensemble des points du plan [de l'espace] peut être modélisé à l'aide
de Jî 2 [de Jî 3 ] : dès qu'on a fixé un repère (O,i,J) [(O,i,J,k)], tout point est
caractérisé par le couple [le triplet] de ses coordonnées qui est un élément de Jî 2
[de Jî 3 ]. Par analogie, on appellera souvent «points» des éléments de :lîn, alors
CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS !Rn
1.2 Qu'est-ce que ~n?
1.2.1 Définition abstraite
Mathématiquement, n étant dans tout ce chapitre un entier non nul (et si possible
au moins égal à 2) on définit lîn comme le produit cartésien de lî par lui-même n
fois : lîn est l'ensemble des n-uples de réels. Par exemple, lî 2 est l'ensemble des
couples de réels, Jî 3 l'ensemble des triplets ...
Un n-uple est une suite ordonnée den éléments, à ne pas confondre avec l'ensemble
{x1, x2, ... , Xn}· Par exemple, on doit distinguer un couple (a, b) de la paire de ses
éléments {a, b}, car (a, b) =/= (b, a) alors que {a, b} et { b, a} sont deux ensembles
égaux.
Pour X E lîn, on appelle x1, x2, ... , Xn les composantes de X.
1.2.2 Structure de lî-espace vectoriel
On munit :lîn d'une structure d'espace vectoriel sur lî, en définissant la somme de
deux n-uples de réels et le produit d'un nombre réel (un scalaire) par un n-uple de
réels : pour X et Y deux éléments quelconques de :lîn, de composantes respectives
(x1,x2, ... ,xn) et (y1,y2, ... ,yn), et pour À un scalaire quelconque, on pose
X+ Y= (x1 +Yi. X2 + Y2, · · ·, Xn + Yn)
Il est classique que ces deux opérations confèrent à lîn une structure d'espace
vectoriel.
On notera OJRn = (0, 0, ... , 0) le vecteur nul de :lîn et parfois simplement 0 ou O.
Les n vecteurs ei = (1, 0, ... , 0), e2 = (0, 1, 0, ... , 0), ... , en= (0, ... , 0, 1) forment
une base de :lîn appelée base canonique.
1.2.3 Universalité de ce point de vue
Soit E un lî-espace vectoriel de dimension n. Il existe donc une base B de E
possédant n éléments. Alors tout élément x de E est caractérisé par ses coordonnées
(x1,x2, ... ,xn) dans la base B. Ces coordonnées sont en fait un élément de :lîn.
Ce procédé définit un isomorphisme entre un espace vectoriel de dimension n et
:lîn qui est en fait le modèle des espaces vectoriels de dimension n.
De même, l'ensemble des points du plan [de l'espace] peut être modélisé à l'aide
de Jî 2 [de Jî 3 ] : dès qu'on a fixé un repère (O,i,J) [(O,i,J,k)], tout point est
caractérisé par le couple [le triplet] de ses coordonnées qui est un élément de Jî 2
[de Jî 3 ]. Par analogie, on appellera souvent «points» des éléments de :lîn, alors