CHAPITRE 1
Notions de topologie dans :!Rn
1.1 Introduction générale
La notion la plus utilisée en analyse mathématique a longtemps été tout simplement
la notion de nombre réel. Pour apprécier la proximité de deux nombres réels a et b,
on utilise la valeur absolue la - bl, qui mesure la distance entre ces deux nombres.
Cette notion de proximité des nombres est essentielle pour toutes les questions
d'analyse. Elle sert pour :
• le calcul de l'erreur dans un calcul approché;
• la définition de la limite d'une fonction f : lf(x) - RI doit pouvoir devenir
arbitrairement petit lorsque lx - xol est petit;
• la définition de la continuité d'une fonction f : l~fl = lf(x + ~x) - f(x)I doit
être aussi petit qu'on le désire à condition que l~xl soit suffisamment petit;
• la définition de la dérivabilité d'une fonction f en x : 1 ~~ - J'(x)I doit tendre
vers zéro lorsque ~x --+ 0 ;
Une première généralisation de cette notion est classiquement faite à l'ensemble
Mais les progrès en mathématiques ont amené une évolution irréversible : actuellement, la notion fondamentale n'est plus celle de nombre, mais celle de vecteur, ou
tableau de nombres. Que ce soit en analyse théorique, ou en analyse numérique,
comme en informatique, on manipule maintenant comme objet, essentiellement des
vecteurs, et on doit leur appliquer des traitements analogues à ce qu'on faisait avec
des nombres : on doit savoir mesurer la proximité de deux vecteurs, pour pouvoir
parler de limites, de continuité, de dérivabilité d'une fonction dont l'ensemble de
départ n'est pas un intervalle de~ mais un ensemble de vecteurs, un ensemble de
tableau de nombres.
L'objet de ce chapitre est donc, après avoir rappelé quelques principes sur les
opérations concernant les vecteurs, de définir une notion permettant de mesurer
la distance de deux vecteurs. Cet outil est la norme.
Notions de topologie dans :!Rn
1.1 Introduction générale
La notion la plus utilisée en analyse mathématique a longtemps été tout simplement
la notion de nombre réel. Pour apprécier la proximité de deux nombres réels a et b,
on utilise la valeur absolue la - bl, qui mesure la distance entre ces deux nombres.
Cette notion de proximité des nombres est essentielle pour toutes les questions
d'analyse. Elle sert pour :
• le calcul de l'erreur dans un calcul approché;
• la définition de la limite d'une fonction f : lf(x) - RI doit pouvoir devenir
arbitrairement petit lorsque lx - xol est petit;
• la définition de la continuité d'une fonction f : l~fl = lf(x + ~x) - f(x)I doit
être aussi petit qu'on le désire à condition que l~xl soit suffisamment petit;
• la définition de la dérivabilité d'une fonction f en x : 1 ~~ - J'(x)I doit tendre
vers zéro lorsque ~x --+ 0 ;
Une première généralisation de cette notion est classiquement faite à l'ensemble
Mais les progrès en mathématiques ont amené une évolution irréversible : actuellement, la notion fondamentale n'est plus celle de nombre, mais celle de vecteur, ou
tableau de nombres. Que ce soit en analyse théorique, ou en analyse numérique,
comme en informatique, on manipule maintenant comme objet, essentiellement des
vecteurs, et on doit leur appliquer des traitements analogues à ce qu'on faisait avec
des nombres : on doit savoir mesurer la proximité de deux vecteurs, pour pouvoir
parler de limites, de continuité, de dérivabilité d'une fonction dont l'ensemble de
départ n'est pas un intervalle de~ mais un ensemble de vecteurs, un ensemble de
tableau de nombres.
L'objet de ce chapitre est donc, après avoir rappelé quelques principes sur les
opérations concernant les vecteurs, de définir une notion permettant de mesurer
la distance de deux vecteurs. Cet outil est la norme.