VIII
AVANT-PROPOS
fonction scalaire, avec le calcul de la longueur d'une courbe. On y montre
également comment utiliser l'intégrale curviligne pour calculer des aires ;
5. un dernier chapitre traite des différents aspects des intégrales multiples,
dans lequel toutes les démonstrations ne sont pas faites. Cependant, à partir
de quelques propriétés admises, tous les résultats utiles pour calculer les
intégrales doubles et triples, et faire des calculs d'aires ou de volumes, sont
prouvés. Il s'agit ensuite de s'intéresser aux intégrales de surface et, après
une introduction rapide de la notion de nappe paramétrée (introduction
aux variétés différentiables), les calculs de flux d'un champ de vecteurs,
d'aire d'une nappe, et d'intégrale d'une fonction scalaire sur une nappe sont
expliqués. Enfin, le chapitre se termine sur les grands théorèmes liant les
intégrales multiples entre elles : Green-Riemann, Ampère-Stokes, Ostrogradski, avec pour chacun de ces théorèmes une démonstration élémentaire et
convaincante.
À la fin de chaque chapitre, est proposée une liste d'exercices dont la difficulté est
très progressive.
Pour chaque exercice, on trouve d'abord des «indications » pour les résolutions,
puis un corrigé détaillé, regroupés dans deux chapitres distincts, situés en fin
d'ouvrage. Le lecteur est invité à commencer par essayer de résoudre seul les
exercices proposés, et à ne consulter les indications que s'il ne voit pas comment
commencer. Enfin, il pourra vérifier sa solution en la comparant avec celle de
l'ouvrage, qui est toujours très détaillée et dont la rédaction se veut pouvoir servir
de modèle.
C'est à partir d'un cours par correspondance qui a fait la preuve de son efficacité
avec des générations d'étudiants, que ce livre a été réalisé.
Nous souhaitons une bonne réussite à tous nos lecteurs.