3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
345
Dans ce domaine, on écrit f(x, y)= chu; la dérivée de chu est u' sh u; pour le
âf
xy+ 1
calcul de - 8 , on prend u = u( x) =
avec y constante, donc
X
xy-1
u'(x) = y(xy - 1) - (xy + l)y = -2y et âf (x y)= -2y sh (xy + 1).
( xy - 1) 2
( xy - 1) 2 ' âx '
( xy - 1) 2
xy - 1 '
,
A
â f
-2x
( xy + 1)
en echangeant le role de x et y, on trouve - 8 (x, y)= (
l) 2 sh - - .
y
xyxy-1
1-xy
Exercice 3.6. f(x, y) = arccos y'(
2 )(
2 )
l+x l+y
f(x, y) existe à condition que la fraction u(x, y) = ( 1 -)~y
) soit comprise
J 1 + x 2 1 + y 2
entre -1 et 1. (La quantité sous le radical est évidemment toujours strictement
positive et le dénominateur ne s'annule donc jamais). On est donc amené à
résoudre l'inéquation
1 ..,/(1 +1 x~)~~ + y2) 1 ~ 1 ~
~
1-xy
(
)
2
~1
..,/(1 + x 2 )(1 + y 2 )
(1 - xy) 2 ~ (1 + x 2 )(1 + y 2 )
~ 1 - 2xy + x2y2 ~ 1 + x2 + y2 + x2y2
~ 0 ~ x 2 + 2xy + y 2 = ( x + y ) 2 .
Comme un carré est toujours positif, cette dernière inégalité est toujours vraie, et
le domaine de définition de f est donc 'D(f) = JR 2 .
Comme la fonction arccos est continue sur son ensemble de définition, f n'est
fabriquée qu'avec des fonctions continues, et est donc continue, c'est-à-dire que f
est continue sur son ensemble de définition qui est JR 2 .
En revanche, la fonction arccos n'est pas dérivable en -1 ni en 1, donc la dérivabilité
de f n'est sûre que pour les (x, y) qui sont tels que la fraction u est strictement
comprise entre -1 et 1 ; on est donc amené à résoudre l'inéquation lui < 1, qui
est la même que l'inéquation ci-dessus, à ceci près qu'on a remplacé ~ par <.
La résolution n'est en rien changée, et on trouve que f est dérivable pour les
(x, y) qui sont tels que (x + y) 2 > 0, ou ce qui revient au même, qui sont tels que
x +y -::f. O. On enlève donc à l'ensemble de définition et de continuité qui est le
plan, la droite~ : y= -x pour obtenir un domaine dans lequel f est à coup sûr
partiellement dérivable, car fabriquée avec des fonctions dérivables.
Remarquons que pour l'instant, rien ne nous permet d'affirmer que f n'est pas
dérivable pour les (x, y) qui sont sur la droite~- Nous savons simplement que f
est partiellement dérivable sur JR 2 \ ~. Nous ne pourrions affirmer quelque chose
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Dans ce domaine, on écrit f(x, y)= chu; la dérivée de chu est u' sh u; pour le
âf
xy+ 1
calcul de - 8 , on prend u = u( x) =
avec y constante, donc
X
xy-1
u'(x) = y(xy - 1) - (xy + l)y = -2y et âf (x y)= -2y sh (xy + 1).
( xy - 1) 2
( xy - 1) 2 ' âx '
( xy - 1) 2
xy - 1 '
,
A
â f
-2x
( xy + 1)
en echangeant le role de x et y, on trouve - 8 (x, y)= (
l) 2 sh - - .
y
xyxy-1
1-xy
Exercice 3.6. f(x, y) = arccos y'(
2 )(
2 )
l+x l+y
f(x, y) existe à condition que la fraction u(x, y) = ( 1 -)~y
) soit comprise
J 1 + x 2 1 + y 2
entre -1 et 1. (La quantité sous le radical est évidemment toujours strictement
positive et le dénominateur ne s'annule donc jamais). On est donc amené à
résoudre l'inéquation
1 ..,/(1 +1 x~)~~ + y2) 1 ~ 1 ~
~
1-xy
(
)
2
~1
..,/(1 + x 2 )(1 + y 2 )
(1 - xy) 2 ~ (1 + x 2 )(1 + y 2 )
~ 1 - 2xy + x2y2 ~ 1 + x2 + y2 + x2y2
~ 0 ~ x 2 + 2xy + y 2 = ( x + y ) 2 .
Comme un carré est toujours positif, cette dernière inégalité est toujours vraie, et
le domaine de définition de f est donc 'D(f) = JR 2 .
Comme la fonction arccos est continue sur son ensemble de définition, f n'est
fabriquée qu'avec des fonctions continues, et est donc continue, c'est-à-dire que f
est continue sur son ensemble de définition qui est JR 2 .
En revanche, la fonction arccos n'est pas dérivable en -1 ni en 1, donc la dérivabilité
de f n'est sûre que pour les (x, y) qui sont tels que la fraction u est strictement
comprise entre -1 et 1 ; on est donc amené à résoudre l'inéquation lui < 1, qui
est la même que l'inéquation ci-dessus, à ceci près qu'on a remplacé ~ par <.
La résolution n'est en rien changée, et on trouve que f est dérivable pour les
(x, y) qui sont tels que (x + y) 2 > 0, ou ce qui revient au même, qui sont tels que
x +y -::f. O. On enlève donc à l'ensemble de définition et de continuité qui est le
plan, la droite~ : y= -x pour obtenir un domaine dans lequel f est à coup sûr
partiellement dérivable, car fabriquée avec des fonctions dérivables.
Remarquons que pour l'instant, rien ne nous permet d'affirmer que f n'est pas
dérivable pour les (x, y) qui sont sur la droite~- Nous savons simplement que f
est partiellement dérivable sur JR 2 \ ~. Nous ne pourrions affirmer quelque chose