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SOLUTIONS DES EXERCICES
f(x, y)= eylnx =eu.
Pour 8
8
1 , u = u(x) = ylnx, donc u'(x) ='!!..et 8
8 1 (x,y) = '!!._eylnx =y xY- 1 .
X
X
X
X
(Ou, plus simplement, y étant constante, la dérivée de x r----+ xY est x r----+ y xY-1.)
M
M
1
Pour ây, u = u(y) =y lnx, donc u'(y) = lnx, et ây (x, y)= lnx eY nx = lnx xY.
X
18. f(x, y)= ~·
yx-yOn s'assure de la dérivabilité de f(x, y) en imposant x > 0 et y > 0, et le problème
devient excessivement simple, car on a f(x, y)= lx~yl = t' donc ~~ (x, y)= 0
âf
1
et ây (x, y)= - Y2 ·
19. f(x,y) = arcsin (~).
On doit imposer que y=/: 0 et -1 < :_ < 1, donc par exemple y> lxl.
y
I
Dans ce domaine, on écrit f(x, y)= arcsin u. La dérivée de arcsin u est ~
vl-u 2
âf
. '
1
1
Pour le calcul de - 8 , on consrdere u = u(x) = -x (y constante), donc u'(x) = -,
X
y
y
1
donc on obtient ââf (x, y) = ny = - / 2 1 2.
x
x2
vY -x
1 - -
y2
âf
1
1
.
Pour le calcul de B' on prend u = u(y) = x-, donc u'(y) = -x 2 et on obtient
f
y
y
Ôf
X2
X
-(x, y) = -
y
= -----,:::::;;::::===::::;;:
âx
J 1 - x2 YV y2 - x2
y2
y
20. f(x, y) =ln _ / 2
2
vY -x
Le plus simple est de s'imposer y> 0 ainsi que y> lxl.
On peut alors écrire f(x, y) =ln y-~ ln(y 2 -x 2 ) =ln y-~ ln(y-x)- ~ ln(y+x).
Sous cette forme, il n'y a plus aucune difficulté pour dériver.
âf
1 1
1 1
âf
1 1 1
1 1
On trouve -(x,y) = - - - - - - - et -(x,y) = - - - - - - - - - ·
ÔX
2 y - X 2 y + X Ôy
y 2 y - X 2 y + X
( xy + 1)
21. f(x,y) =ch xy- l .
Il suffit de choisir un domaine dans lequel xy =/: 1 comme domaine de régularité,
par exemple l'ensemble des couples (x, y) tels que x > 1 et y> 1.