3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS Rn
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x2 -y2
14.f(x,y)= 2
2 ·
X +y
Le dénominateur x 2 + y 2 ne peut être nul que pour (x, y)= (0, 0), donc on peut
prendre comme domaine de régularité le plan privé de l'origine: JR. 2 \ {(O, O)}.
On dérive f ( x, y) comme un quotient :
of (x, y) = (2x)(x 2 + y 2 ) - (x 2 - y 2 )(2x) =. 4xy2 .
ox
(x2 + y2)2
(x2 + y2)2 '
of (x, y) = (-2y)(x 2 + y 2 ) - (x 2 - y 2 )(2y) = -4x2y
ox
(x2 + y2)2
(x2 + y2)2
(On aurait pu aussi échanger le rôle de x et y, mais ce faisant on change f ( x, y)
et - f(x, y), d'où la différence de signe entre les deux expressions.)
x2
y
15. f(x,y) = - - 2 ·
y
X
x et y doivent être non nuls, donc on peut prendre comme domaine de régularité
un des quatre quadrants limités par les deux axes de coordonnées.
Pour 0
°f, on considère que f(x, y)= ax 2 - bx- 2 (avec a=! et b =y) donc
X
y
of
3
X
y
- 0 (x, y) = 2ax + 2bx- = 2- + 2 3 .
X
y
X
Pour 0
0 f, on considère que f(x,y) =a! -f3y (avec a= x 2 et f3 =~),donc
y
y
X
of
-1
x 2
1
-(x y)= a - - f3 = - - - - ·
oy '
y2
y2
x2
16. f(x, y) = evx2-y 2 .
Pour que la quantité sous le radical soit strictement positive, on choisira comme
domaine de régularité l'ensemble des (x, y) tels que x > 0 et -x quadrant situé à droite des deux bissectrices du repère).
I
On considère que f(x,y) =eu, avec u = y'v, donc u' = 2 ~.
Pour le calcul de ~~, on considère que y est constante, donc v = v(x) =
2x
of
x 2 - y 2 , donc v'(x) = 2x, et u'(x) =
2
, donc finalement - 0 (x,y) =
2Jx -y2
X
X
Jx2-y2
e
.
Jx2 -y2
Pour le calcul de ~~, c'est x qui est constante, donc v = v(y) = x 2 - y 2 ,
2y
of
Y
~
v'(y) = -2y donc u'(y) = - 2 Jx 2 _ y 2 et ox (x, y) = - vx 2 _ y 2 e x -y .
17. f (X 1 y) = xY.
On doit imposer x > 0 pour ne pas avoir de problème de dérivabilité, et écrire