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SOLUTIONS DES EXERCICES
12. f(x, y) = Jsin(x2 + y2).
Pour que sin(x 2 + y 2 ) soit strictement positif, on peut prendre des couples (x, y)
tels que 0 < x 2 + y 2 < 7r : un domaine de régularité est donc le disque centré en
(0, 0), de rayon .Ji, privé de son centre.
La dérivée de y'u est 2 ~; on prend, pour le calcul de~~, u = u(x) = sin(x 2 +y2),
on a u'(x) = 2x cos(x 2 + y 2 ) donc on obtient
âf (x,y) = 2xcos(x 2 + y 2 ) = xcos(x 2 + y 2 ),
âx
2yf sin(x2 + y2)
yf sin(x2 + y2)
et en échangeant le rôle de x et y,
âf (x y)= ycos(x 2 + y 2 ).
ây '
yfsin(x2 + y2)
1
13. f(x,y) =
n·
1+ ~ y
Le dénominateur, s'il existe, est toujours strictement positif. Le seul problème
vient du radical, et pour être sûr qu'il n'y a pas de problème de dérivabilité, il
suffit de prendre comme domaine de régularité JR*+ x JR*+.
Dans ce domaine, on peut écrire f ( x, y) =
1 Vx = ]:_ et utiliser que la dérivée
1
X
U
+JY
1
u'
de - est--.
u
u 2
âf
1
1 1
Pour - 8 , on prend u = u( x) = 1 + v'x- (avec y constante) donc u' ( x) = -
r;;:
X
JY
JY2yX
1
.
âf
2../XJY
JY
et on obtient âx (x, y)= - (
v'x) 2 = - 2 ../X(JY + v'x)2 ·
1 + -
v'Y
âf
1
Pour ây, on prend u = u(y) = 1 + ../Xy-2 (avec x constante) donc u'(y) =
v'x
1
-~
.
âf
2yJY
v'x
- 2../X y 2, donc on obtient ây (x, y)= (
v'x) 2 = 2 JY(JY + ../X)2 ·
1 + -
v'Y
On aurait aussi pu écrire f ( x, y) = Vx JY = 1 - Vx Vx et utiliser la
x+JY
x+JY
dérivation de C; sous cette forme, on comprend beaucoup mieux l'analogie des
u
deux résultats.