3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE RP VERS Rn
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x doit être non nul, donc on prendra comme domaine de régularité l'un des deux
demi-plans limités par l'axe des ordonnées.
Ensuite, on raisonne comme dans 3. ; la dérivée de la fonction sin 2 u est :
2u 1 sin u cos u = u' sin 2u.
P
â f
, . y
( ) d
'( )
y
â f ( )
y . 2y
our - 8 , on ecnt - = u x, one u x = - 2 et on a - 8 x,y = - 2 sm-.
X
X
X
X
X
X
Pour 8
8 !, on considère u(y) = ' #.. = ~y, x étant une constante, donc u'(y) = ~ et
y
X
X
âf
1 . 2y
finalement - 8 (x, y)= - sm - ·
y
X
X
9. f(x,y) = Jxcosy.
La quantité sous le radical doit être strictement positive pour qu'il n'y ait pas
de problème de dérivabilité. On peut prendre comme domaine de régularité
~*+ x J - ~, ~ [, et dans ce domaine x et cos y sont tous deux positifs, ce qui
simplifie les calculs : dans ce domaine, on a f(x, y) =fa ...fCOSY.
'
On écrit : f(x, y)= aJU, on sait que la dérivée de aJU est 2 a~·
âf
âf
Jcosy
Pour - 8 , on obtient facilement - 8 (x, y) =
Vx ·
X
X
2 X
Pour ~~, on prend a = fa et u = u(y) = cos y donc u' = u' (y) = - sin y et
finalement
âf (x,y) =-fa sin y.
ây
2Jcosy
xy
10. f(x,y) = J
2
2
l+x +y
Le dénominateur est clairement strictement positif, donc f est clairement dérivable
sur ~ 2 .
En appliquant la dérivation d'un quotient, on trouve
âf(x )= y(1+x 2 +y 2 )-xy(2x) = y+y 3 -x 2 y
âx 'Y
(1 + x2 + y2)2
(1 + x2 + y2)2
et en échangeant le rôle de x et y, on a
âf
x + x 3 -yx 2
ây (x,y) = (1 + x2 + y2)2'
11. f(x, y)= (x2 + y2)e-xY.
Cette fonction est clairement dérivable sur ~ 2 .
En appliquant la dérivation d'un produit, on trouve
âf (x, y))= 2xéY + (x 2 + y 2 )yéY = (2x + x 2 y + y 3 )exY.
âx
et en échangeant le rôle de x et y, on a
âf
ây (x, y)= (2y + y2x + x3)exY.