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SOLUTIONS DES EXERCICES
Pour calculer ~~ , on considère que u = u( x) = ( x ln x) y 2 (avec y constante),
donc
u'(x) = y 2 (1n x+ 1) et finalement ~~ (x, y) = y 2 (1nx+ l)exy
2 Inx = y 2 (1nx+ 1)xXY 2 •
Pour calculer ~~, on considère que u = u(y) = ( x ln x) y 2 avec x constante, donc
âf
21
2
u'(y) = (x lnx)2y et finalement ây (x, y)= 2yx lnx exy nx = 2yx lnx xxy .
6. f(x,y) = ln(y+ Jx 2 +y2).
Il est tout à fait clair que la quantité dont on calcule le logarithme est strictement
positive si on impose y> 0, donc le demi-plan au-dessus de l'axe des abscisses est
un domaine de régularité (même si c'est loin d'être le plus grand possible).
âf
Pour le calcul de âx, on pose f(x, y)= ln u, avec u(x) =y+ Jx 2 + y2 = C + ..fü
2x
et v(x) = x 2 + y 2 , donc v'(x) = 2x, et u'(x) = J 2
2 (la dérivée de ..fü est
2 X +y
'
'
v r;;;). Puisque la dérivée de ln u est ~, on a :
2yv
u
X
âj
Jx2 +y2
X
âx(x,y) = y+Jx2+y2 = Jx2+y2 (y+Jx2+y2)
Pour le calcul de ~f, c'est le même raisonnement, sauf qu'ici f(x, y) =ln u avec
y
2
u(y) = y + J~x~2 -+-y~ 2 = y + ..fü et ici v' (y) = 2 J x 2 y + y 2 de sorte que
Jx2 +y2 +y
Y
âf
Jx2 + y2
u'(y) = 1+. 1 2
2 et finalement - 8 (x,y) =
. / 2
2
yx +y
Y
Y+vx +y
1
Jx2 +y2
7. f(x,y) = ln(x + Jx2 -y2).
Pour que f(x, y) existe, il faut entre autres que la quantité sous le radical soit
positive, donc on doit avoir !xi ~ IYI· Il faut aussi que la quantité dont on calcule
le logarithme soit positive, donc pour être sûr de ne pas avoir de problème, on peut
s'imposer x >O. On choisira donc le domaine {x > O
comme domaine
-X< y< X
de régularité.
Ensuite les calculs sont en tous points semblables à ceux de 6. et on trouve :
âf (x,y) =
1
et âf (x,y) =
-y
âx
Jx2 -y2
ây
Jx2 -y2 (x + Jx2 -y2)
8. f(x,y) = sin 2 (~) ·