3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
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8f
1
1
3
Pour calculer By, la dérivée de y t---+ C x (1 + y)-2 est - 2 C x (1 + y)-2, donc
8f
vlf+x
8y (x, y)= - 2(1 + y)v'f+Y
Pour calculer ~~,la dérivée de x t---+ .\(1 + x)~ est ~(1 + x)-~ donc
8f
1
âx (x, y) = 2vlf+xv'f+y
3. f(x, y)= tan(~)·
x doit être non nul, et en plus, tan u n'existe pas pour cos u = 0 c'est-à-dire pour
u = ~+br. Un domaine de régularité est par exemple l'ensemble des (x, y) tels
que x > 0 et -~x y= ~x et y= -~x (dans le demi-plan x > 0).
La dérivée de t t---+ tant est tan'(t) = 1 + tan 2 t = _J_ 2 , donc la dérivée de tan u
cos t
I
(où u est une fonction) est u'(l + tan 2 u) = --;-.
cos u
Pour le calcul de aaf' on considère que f(x,y) = tanu avec u(x) ='#..=y X.!
X
X
X
donc u' ( x) = y x -; , donc 8
8
1 ( x, y) = - Y 2 ( 1 + tan 2 ' #..) = - 2 Y 2 1l. •
X
X
X
X
XCOSx
Pour le calcul de 8
8 !, on considère que f(x, y) =tan v avec v(y) = ' #.. =y x .!
y
X
X
1
.
8f
1 (
y)
1
donc v'(y) = -. On obtient donc - 8 (x, y)= - 1 + tan 2 - =
2 ll..
X
y
X
X
XCOS X
4. f(x, y)= ln(~) .
~ doit exister et être strictement positif, donc un domaine de régularité est le
quart de plan limité par les deux demi-axes de coordonnées {x > O
y>O
I
On peut raisonner comme dans 3., en utilisant que la dérivée de ln u est ~ ·
u
Mais il est infiniment plus simple d'utiliser que, pour x, y> 0,
8f
1
8f
1
f(x,y) =ln~= lny - lnx, donc - 8 (x, y)= -- et - 8 (x,y) = -·
X
X
y
y
5. f(x, y) = xxy 2 •
x doit être positif donc un domaine de régularité est le demi-plan x > 0, « à
droite » de l'axe des ordonnées.
On écrit f(x, y)= xxY 2 = exy 2 lnx =eu. La dérivée de eu est u'eu.