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SOLUTIONS DES EXERCICES
f(x, y) est nulle pour (x, y) -+ (0, 0) (voir la remarque suivant la proposition 3.32
p. 84). On peut simplement affirmer que si f admet une limite en ce point, cette
limite est nulle.
2. Considérons la parabole d'équation y= x 2 , qui passe par l'origine. Une paramétrisation de cette parabole est
{
X= t
y= t2
t-+ o.
Pour t-+ 0, le point (x, y) se rapproche bien de l'origine.
Ona
f(x(t), y(t)) = f(t, t 2 ) = 1: : 1 exp (-1::1) = e- 1 ~ e- 1 #O.
On a trouvé une façon (x(t),y(t)) de se rapprocher de (0,0) sans que f(x(t),y(t))
n'ait pour limite O. Comme 0 est la seule limite possible, on peut donc dire que
f(x, y) n'admet pas de limite en (0, 0).
3.5 Dérivées partielles
Exercice 3.5.
Dans chacune des questions, nous proposons ce que nous appellerons un domaine
de régularité, c'est-à-dire un sous-ensemble ouvert de IR 2 dans lequel on est sûr
qu'il n'y a aucun problème de dérivabilité.
1. f(x,y) = x+y.
x-y
x - y doit être non nul, donc on peut prendre comme domaine de. régularité un
des deux demi-plans ouverts (sans la frontière) limités par la droite d'équation
y= x (première bissectrice du repère).
( u)' u'v - uv'
On dérive en appliquant la formule v = v 2 . On trouve
8f
2y
-8 (x, y)= - (
)2
X
X-y
8f
2x
-8 (x,y) = (
)2
y
x-y
2.f(x,y)=
·
'I
La quantité sous le radical doit être positive, donc un domaine de régularité est
l'intersection du demi-plan ouvert y> -1 avec le demi-plan ouvert x > -1.
Dans ce domaine 1 pour pouv;_oir dériver plus facilement, on a intérêt à écrire
f(x,y) = (1 +x)2 · (1 +y)-2.