3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
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En utilisant le passage en polaires, on obtient lorsque a> 0,
(en effet, le terme ra est prépondérant devant le terme lln ri).
On conclut, dans ce cas que
lim
f(x, y)= O.
(x,y)-+(0,0)
Si a~ 0, on a f(x,O) = lxlalnx 2 --+ -oo, donc f(x,y) n'a pas de limite. (En
ne se posant pas la question d'une limite éventuellement infinie).
{
f(x y) - M exp (-M)
Exercice 3.4.
' - x2
x2
f(O,y) =O.
si X# 0
1. La droite verticale passant par l'origine est l'axe des ordonnées paramétré par
{
X =0
y=t
t--+ o.
Pour cette paramétrisation, on a f (x(t), y(t)) = f(O, t) = 0-----+ O.
t-+0
De même, la droite horizontale passant par l'origine est l'axe des abscisses paramétré par
{
$ = t
y=O
t--+ o.
Pour cette paramétrisation, on a
f (x(t), y(t)) = f(t, 0) = 1° 2 1 exp (-1° 2 1) = 0.e 0 = 0-----+ O.
t
t
t-+0
Une droite oblique, de coefficient directeur >.passant par l'origine est paramétrée
par
{
X =t
y= )..t
Pour cette paramétrisation, on a
f (x(t), y(t)) = f(t, >-.t) = l~;I exp (-1~;1) = 1 1 ~ 1 1.e-*f = ue-u,
en posant u = l l >-. l l -----+ +oo. Puisque classiquement, lim ue-u = 0, on peut
t
t-+0
u-t+oo
conclure, par composition de limite que lim f(x(t), y(t)) =O.
t-+0
On a montré que si (x, y) tend vers (0, 0) en suivant une des droites passant par
l'origine, alors f(x, y) tend vers O. ça ne suffit pas à montrer que la limite de