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SOLUTIONS DES EXERCICES
Puisque lsinu - ul ~ 1~ 3 1, (voir question 11.), on a IJ(x,y)I ~ 6 J;i
3
z~ 2 ) -+ o
(évident en passant en polaires), donc
lim
f(x,y) =O.
(x,y)-+(0,0)
!(
) sin(x 2 ) + sin(y 2 )
15. x, y =
( 2
2)et
.
X +y
Pour a< 1,
. 2
2 . 2
2
2 2)1-a smx -x smy -y
( 2 2)1-a (
)
f(x, y)= (x +y
+ (x2 + y2)a + (x2 + y2)a = x +y
+g x, y +h(x, y),
sin x 2 - x 2
sin y 2 - y 2
en posant g(x, y) = (x2 + y2)0 et h(x, y)= 6 (x2 + y2)0
x6
r6-2a
On a lg(x, Y)I ~ 6(x2 + y2)a ~ -6--+ 0;
~
y6
r6-2a
et de meme lh(x,y)I ~ 6 (x 2 + y 2 ) 0 ~ - 6 --+ O.
Puisqu'il est clair que (x 2 +y 2 ) 1 -a --t 0 car 1-a > 0, on peut conclure f(x, y) --t O.
Pour a = 1, le même calcul montre que
f(x, y)= 1 + g(x, y)+ h(x, y),
avec les mêmes valeurs pour g et h; puisqu'ici 6 - 2a = 4, ici aussi g et h tendent
vers 0 et on peut conclure que
lim
f(x, y) = 1
(x,y)-+(0,0)
Pour 1 0, donc les termes g(x,y) et h(x,y)
1
tendent encore vers 0, alors que le terme (x 2 + y 2 ) 1 -a = (x 2 + y 2 ) 0 _ 1 a pour
limite +oo. La fonction f n'a pas de limite (ou a +oo comme limite, mais nous
n'avons pas formalisé ce type de situation).
Pour a ;:;::: 3, il est plus compliqué de calculer la limite des termes g(x, y) et
h(x, y), mais le plus simple (méthode valable aussi entre 1 et 3) consiste à utiliser
le résultat obtenu pour a = 1 : on écrit
f (x ) = sin(x 2 ) + sin(y 2 ) .
1
'Y
x2 + y2
(x2 + y2)a-1
La première fraction admet 1 comme li~ite (d'après ce qu'on a vu lorsque a= 1),
et la deuxième fraction tend vers +oo (ou n'a pas de limite, si on préfère), donc
lim
f(x, y) = +oo (ou n'existe pas).
(x,y)-+(0,0)
16. f(x, y) = lxl 0 ln(x 2 + y 2 ).
Lorsque a est positif, la fonction est définie dans un voisinage de (0, 0) et le
raisonnement est plus facile; mais si a < 0, 'D(J) est le plan privé de l'axe des
ordonnées x =O.