3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
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Il est classique que 1 sin u - ul : : : : ; ; 1~ 3 (pour le montrer, utiliser comme dans 9. la
formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 3 au voisinage de 0), et en remarquant que
!(
) ysinx -yx + xy- xsiny
x,y =
2
2
, on a
X +y
'
f(x,y)I = ly(sinx-x)-x(siny-y)I::::;; IYllxl 3 +lxllYl 3 .
x2 + y2
6(x2 + y2)
On passe alors en polaires et on obtient
If ( ) 1 r 4 (1 sin OI 1 cos 3 OI + 1 cos OI 1sin 3 01) r 2
x,y::::;;
52
::::;;-3 ~o.
r
r-+0
et on peut conclure
lim
f(x, y) =O.
(x,y)-+(0,0)
2 f ( ) __ J1 + x2 + Jl + y2 - 2.
1 . x, y
2
2
X +y
On a
~
2
~
2
2
2
V l T" x- - (1 + ~) + y 1 + y 2 - (1 + 1L.) + ~ + 1L.
f(x,y)=
2
2
2
2
x2 +y2
1 J1 + x2 - (1 + x
2 )
Jl + y2 - (1 + 1t)
=-+
2 +
2
2
x2 + y2
x2 + y2
1
= 2 + g(x, y)+ h(x, y).
Or, IJl + u - (1+~)I=1 ~~ u 1::::;; u
2 pour u ~O.
l+u+1+ 2
8
x4
Donc lg(x, y)I : : : : ; ; 8(x2 + y2) --+ 0;
(c'est évident en passant en polaires: lg(x,y)I = r 2 c~s 4 9::::;; r;);
de même h(x, y) --+ 0 et donc f(x, y) --+ ~13. f(x,y) = 1- cosxy .
x2 + xy + y2
Puisque (1-cosu)::::;; u; (voir question 9.), et que x 2 +xy+y 2 = ~ 2 + (x~y) 2 + vf ~
!(x 2 + y 2 ), on a
2 2
IJ(x, y)I : : : : ; ; ( ~ y 2 ) --+ 0 (évident en passant en polaires), donc lim f(x, y)=
2 X + y
(x,y)-+(0,0)
o.
14 f(
) _ sinxy - xy.
· x,y -
2
2
,
X +y