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SOLUTIONS DES EXERCICES
donc on a
lim
f(x, y)= O.
(x,y)-+(0,0)
Pour a > 1, f (x, 0) = ( 2 ~ 1 -------+ +oo donc pas de limite.
X ax-+0
Pour a = 1, f (x, 0) = 1 et f(x, x) = V:, donc pas de limite.
( )
1-cos..JXY
9. f x,y =
·
y
Ici f n'est pas définie dans un voisinage de (0, 0). Il est plus compliqué de travailler,
car on doit à chaque fois préciser que (x, y) EV(!). Cet ensemble de définition
est formé du premier quadrant (x ~ 0 et y > 0) et de son symétrique par rapport
à l'origine.
2
C'est un résultat classique que pour tout u E IR, on a Il - cosul :::;; ~
(pour le montrer, le plus simple est d'utiliser la formule de Taylor-Lagrange
2
à l'ordre 2 au voisinage de 0 : g(u) = g(O) + ug'(O) + ~ g"(f.) avec f. entre
u2
0 et u ; ici cette formule s'écrit cos u = 1 - 2 cos f., donc on en déduit que
Il - cosul = 1~ 2 cosf.I:::;; ~ 2 ).
Pour (x, y) EV{!), on en déduit, en posant u = ..jXY que:
1
1 - cos ..JXYI xy lxyl lxl
IJ(x,y)I =
IYI
:::;; 2IYI = 2lyl = 2 (x~O) O.
On ne peut pas vraiment appliquer directement le théorème 3.33 (p. 86), à cause
de l'ensemble de définitio~ mais le même raisonnement s'applique : pour ê, on
trouve grâce au fait que ~ tend vers 0, un voisinage de (0, 0) dans lequel on a
~ :::;; ê et grâce à la majoration que l'on a obtenue, pour les (x, y) qui sont à la
fois dans ce voisinage et dans V(!), on a IJ(x, y) - OI : : : ; ; ê.
On a montré que
lim
f(x, y)= O.
(x,y)-+(0,0)
xy
10. f(x,y) =
I
I
lx cosy+IY cosx
Pour x, y suffisamment petits (on peut prendre (x,y) dans la boule B 00 (0, i)),
on a cosy~ ! et cosx ~ !, donc
2lxyl
2(lxl + IYI) IYI
IJ(x,y)I:::;; 1 1 1 1:::;;
1 1 1 1
= 2 IYI -------+ 0 ·
X + y
X + y
(x,y)-+(0,0)
et on peut conclure que
lim
f(x, y)= O.
(x,y)-+(0,0)
11 f ( ) = y sin x - x sin y.
. x,y
x2 +y2