3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
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5. f(x,y) = x 2 +y 2 · En utilisant le passage en polaires,
X +y
r 3 1 cos 3 () + sin 3 OI
IJ(x,y)I =
2
~ r(jcos 3 0I + jsin 3 0I) ~ 2r -----t 0,
r
r--+0
et on peut conclure que
lim
f(x, y)= O.
(x,y)--+(0,0)
sinxy
6.f(x,y)= 2+4·
X
y
En suivant la première diagonale, x = y = t --+ 0,
sin t 2
t 2
f(x(t), y(t)) = t2 + t4 o t2 = 1Ho+1,
alors que f(x, 0) = 0--+ 0 donc pas de limite.
!( ) sin 4 x + (1- cosy) 2
7. x,y =
4 4
4
.
X +y
On va utiliser les développements limités classiques de sin et cos.
333
sin 4 x = x 4 +x 5 E:1(x) et (1-cos y) 2 = iy 4 +y 5 E:2(y) (avec lim €1 (x) = lim E2(y) =
x--+0
y--+0
0), donc
f(x ) = x4 + X5€1(x) + iY4 + Y5€2(y) = ~ + X5€1(x) + Y5€2(y) .
,y
4(x4 + h4)
4
4x 4 + y4 4x4 + y4
D'une part, on a
De même, on a
.
X 5 €1(x)
y 5 E:2(y)
On a donc
hm
= lim
- 0
(x,y)--+(0,0) 4x 4 + y 4 (x,y)--+(0,0) 4x4 + y4 - '
.
1
donc on peut conclure que
hm
f(x, y)= - 4 ·
(x,y)--+(0,0)
Jx4 +y4
8. f(x, Y) = (x2 + y2)a ·
Pour a < 1, en passant en polaires, on a