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SOLUTIONS DES EXERCICES
3.4 Détermination pratique de limites
Exercice 3.3.
(x + y)2
1. f(x, y) = 2 2 ·
X +y
. .
(t + t) 2
Pas de hmite: pour x =y= t---+ 0, on a f(x(t), y(t)) = t 2 2 = 2 -----t 2
+ t
t---+0
alors que pour x = t et y= 0, avec t---+ 0, f (x(t), y(t)) = 1 ---+ 1.
On a trouvé deux façons de se rapprocher de (0, 0) avec des limites différentes.
x+y3
2.f(x,y)= 2
2·
X +y
Pas de limite: pour x = t et y= 0, avec t---+ 0, f (x(t), y(t)) = f---+ oo.
(On note plus simplement cet argument f (x, 0) = ~ -----t oo, de même que pour
x---+0
décrire ce qui se passe si on se rapproche de (0, 0) en suivant l'axe des ordonnées,
on écrit f(O, y) =y -----t O.)
y---+0
x4y2
3.f(x,y)= 4
2·
X +y
Pour tout (x, y), on a IJ(x, y)I :::;; y 2 -----t 0 puisque pour x -/:- 0, on peut
(x,y)---+(0,0)
inverser l'inégalité x 4 + y 2 ~ x 4 et pour x = 0, on écrit 0 :::;; O. On peut donc
conclure que
lim
f(x, y)= O.
(x,y)---+(0,0)
lxyla
4. f(x, y)= J 2 2
X +y
Pour a > ! , en passant en polaires, on obtient
If( ) 1 - rai cosOla.ral sinOla 2 a-i
O
x,y -
:::;; r
-----t
r
r---+0
(car 2a - 1 > 0 ) .
On applique alors le corollaire 3.34 (p. 87) et on peut conclure que
lim
f(x, y)=
(x,y)---+(0,0)
o.
Pour a < ! , pas de limite car pour x = y = t ---+ 0, on a
1
f (x(t), y(t)r) = ltl1_ 2 a Hot oo
(on peut noter plus brièvement cet argument ainsi : f ( x, x) = fîl-2al 1:_ a ----+ +oo)
X
x---+0
(et pour y= 0, on a f(x, 0) = 0)
1
Pour a=!, f(x, x) = v'2 et f(x, 0) = 0 donc pas de limite.