3. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE JRP VERS Rn
331
donc
IJ(x,y)- (-2)1=l(x-2y + 3)- (-3-2.1+3)1 = l(x- (-3)) -2(y- l)I
e
:::;; lx+ 31+2ly - li:::;; 3max(lx + 31, ly-11) :::;; 33 = ~.
Notons que la valeur 'f/ = ~ est loin d'être la meilleure possible. En fait, on peut
prendre 'f/ = fs' mais l'astuce pour le démontrer n'est pas évidente.
On utilise que pour A> 0, B > 0, on a 4A 2 - 4AB + B 2 = (2A- B) 2 ;;::: 0 donc
5A 2 + 5B 2 ;;::: A 2 + 4AB + 4B 2 et donc A+ 2B:::;; ../5J A2 + B2.
Appliquant ceci avec A= lx+ 31 et B = IY - li, si on a ll(x, y) - (-3, 1)11 2 :::;; fs'
on en déduit que
IJ(x, y) - (-2)1 :::;; lx+ 31+2ly - li :::;; v'511(x + 3, y - 1)11 2 :::;; e.
Ce type d'optimisation de la valeur de 'f/ est un exercice assez vain : du moment
qu'on trouve un 'f/ qui convient, la démonstration est terminée et correcte.
Pour la norme somme, on peut simplement utiliser la majoration llXlloo:::;; llXll1,
, et se ramener à ce qu'on vient de faire; mais il est ici particulièrement simple
d'améliorer la valeur de 'f/ en utilisant que lx+ 31+2ly - li :::;; 2(lx + 31 + IY -
li)= 2ll(x,y) - (-3,1)11 1 . On peut alors écrire Ve> 0, 3'f/ = ~ > 0 tel que si
ll(x, y) - (-3, 1)11 1 :::;; 'f/ =~'on en déduit
IJ(x,y)- (-2)1 = l(x - 2y + 3)- (-3-2.1+3)1 = l(x - (-3)) -2(y- l)I
e
:::;; lx+ 31+2ly- li:::;; 2ll(x,y) - (-3, 1)11 1 :::;; 22 = ~·
Exercice 3.2.
On utilise la norme du max dans l'espace de départ ~ 2 et la norme somme dans
l'espace d'arrivée.
Ve> 0, 3'f/ = ~ > 0 tel que si ll(x,y,z) - (1,-1,2)11 00 :::;; 'f/, on en déduit
max(lx - li, IY +li, lz - 21) :::;; ~ donc
ll
f(x, y, z) _ ( 6) Il =Il ((x - 1) - (y+ 1) + 2(z - 2)) Il
-3 1
(x - 1) - 2(z - 2)
1
------~
= l(x - 1) - (y+ 1) + 2(z - 2)1 + l(x - 1) - 2(z - 2)1
:::;; lx - li+ IY +li+ 2lz - 21 +lx - li+ 2lz - 21
e
:::;; 7max(lx - li, IY +li, lz - 21) :::;; 77 = ~
Si on tient à utiliser d'autres normes, le plus simple est de se ramener à ce qu'on
vient de faire en utilisant une ou deux inégalités du théorème 1.9 (p. 7).
331
donc
IJ(x,y)- (-2)1=l(x-2y + 3)- (-3-2.1+3)1 = l(x- (-3)) -2(y- l)I
e
:::;; lx+ 31+2ly - li:::;; 3max(lx + 31, ly-11) :::;; 33 = ~.
Notons que la valeur 'f/ = ~ est loin d'être la meilleure possible. En fait, on peut
prendre 'f/ = fs' mais l'astuce pour le démontrer n'est pas évidente.
On utilise que pour A> 0, B > 0, on a 4A 2 - 4AB + B 2 = (2A- B) 2 ;;::: 0 donc
5A 2 + 5B 2 ;;::: A 2 + 4AB + 4B 2 et donc A+ 2B:::;; ../5J A2 + B2.
Appliquant ceci avec A= lx+ 31 et B = IY - li, si on a ll(x, y) - (-3, 1)11 2 :::;; fs'
on en déduit que
IJ(x, y) - (-2)1 :::;; lx+ 31+2ly - li :::;; v'511(x + 3, y - 1)11 2 :::;; e.
Ce type d'optimisation de la valeur de 'f/ est un exercice assez vain : du moment
qu'on trouve un 'f/ qui convient, la démonstration est terminée et correcte.
Pour la norme somme, on peut simplement utiliser la majoration llXlloo:::;; llXll1,
, et se ramener à ce qu'on vient de faire; mais il est ici particulièrement simple
d'améliorer la valeur de 'f/ en utilisant que lx+ 31+2ly - li :::;; 2(lx + 31 + IY -
li)= 2ll(x,y) - (-3,1)11 1 . On peut alors écrire Ve> 0, 3'f/ = ~ > 0 tel que si
ll(x, y) - (-3, 1)11 1 :::;; 'f/ =~'on en déduit
IJ(x,y)- (-2)1 = l(x - 2y + 3)- (-3-2.1+3)1 = l(x - (-3)) -2(y- l)I
e
:::;; lx+ 31+2ly- li:::;; 2ll(x,y) - (-3, 1)11 1 :::;; 22 = ~·
Exercice 3.2.
On utilise la norme du max dans l'espace de départ ~ 2 et la norme somme dans
l'espace d'arrivée.
Ve> 0, 3'f/ = ~ > 0 tel que si ll(x,y,z) - (1,-1,2)11 00 :::;; 'f/, on en déduit
max(lx - li, IY +li, lz - 21) :::;; ~ donc
ll
f(x, y, z) _ ( 6) Il =Il ((x - 1) - (y+ 1) + 2(z - 2)) Il
-3 1
(x - 1) - 2(z - 2)
1
------~
= l(x - 1) - (y+ 1) + 2(z - 2)1 + l(x - 1) - 2(z - 2)1
:::;; lx - li+ IY +li+ 2lz - 21 +lx - li+ 2lz - 21
e
:::;; 7max(lx - li, IY +li, lz - 21) :::;; 77 = ~
Si on tient à utiliser d'autres normes, le plus simple est de se ramener à ce qu'on
vient de faire en utilisant une ou deux inégalités du théorème 1.9 (p. 7).