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SOLUTIONS DES EXERCICES
quant à la dérivabilité partielle de f pour ( xo, Yo) qu'en étudiant les limites en o
d
t
f(xo + h, Yo) - f(xo, Yo) t f(xo, Yo + k) - f(xo, Yo)
es rappor s
h
e
k
·
Nous ne ferons pas cette étude, car nous découvrirons un peu plus loin une solution
beaucoup plus simple de cette question de la dérivabilité partielle de f sur~.
âf
Calculons pour (x, y) E R 2 \ ~' âx (x, y).
l -xy
On utilisera que f(x, y) = arccos(u(x, y)) avec u(x, y) = ../(
2 )(
1 +X 1 + y2)
f(x,y) s'écrit donc, pour y fixé, f(x,y) = g(x) = arccos(v(x)) avec v(x) = u(x,y)
(g est la première fonction partielle de f en ( x, y) et v est aussi la première fonction
partielle de u en (x, y)).
De sorte que
âf
-l
âu
a(x,y) = g'(x) = arccos'(v(x))v'(x) = J
a(x,y)
x
1 - (v(x))2 x
-1
âu
=
-(x,y).
J1 - (u(x, y))2 ax
P
f ·1·t 1
1 1
' ·
(
)
1
1 - xy 1
.,
our ac1 r er es ca cu s, nous ecnrons u x, y = ../l + y 2 v'l + x 2 , a prem1ere
fraction k pouvant être considérée comme une constante par rapport à x.
On obtient donc
~
2x
âf
-l
1
-yv i -r x~ - (1 - xy)-2v' i""+x2----=1=+=x=2
âx (x, y) = ---;::::===( ==)=2== ../1 + y2
1 + x2
1 _
l-xy
1 + x2 + y2 + x2y2
-../(1 + x2)(1 + y2) (-y - yx 2 - x + x 2 y)
=
3
../1 + x2 + y2 + x2y2 - (1- 2xy + x2y2) ../1 + y2 (1 + x2)2
x+y
1
x+y
1
= -v' -;=x:;;::2 =+=y=;<=2=+=2=x=y 1 + x2
J ( x + y )2 1 + x2
x+y
1
1
1
= lx+yl l+x2 =sgn(x+y) l+x2 =±1+x2·
Il n'est pas nécessaire de calculer ~~ car x et y jouant des rôles absolument
symétriques, on peut sans craindre affirmer que dans le domaine de dérivabilité
R 2 \~'on a
âf
1
1
ây (x, y)= sgn(x +y) 1 + y2 = ± 1 + y2.