2. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR FONCTIONS VECTORIELLES ET COURBES PARAMÉTRÉES 329
On a
x(t) = sint- t - - = t- - + - + o(t 6 ) - t- -
t4
(
t3
t5
)
t4
24
6
120
24
t3 t4
t5
= -5 - 24 + 120 + o(t 6 );
t2
y(t)=et-t-2
= 1 + t + - + - + - + - + - + o(t ) - t - -
(
t2 t3 t4
t5
t6
6 )
t2
2
6
24 120 720
2
t3 t4
t5
t6
= 1 + 6 + 24 + 120 + 720 + o( t
6 ) ·
En comparant avec la formule de Taylor-Young, on obtient facilement que
x(O) = x' (0) = x" (0) = 0, x"' (0) = -1, x( 4 ) (0) = -1, x( 5 ) (0) = 1, x( 6 ) (0) = O ;
y(O) = 1, y'(O) = y"(O) = 0, y"'(O) = 1, y( 4 )(o) = 1, y( 5 )(o) = 1, y( 6 )(o) = 1.
On a donc f'(O) = (0, 0) (on le savait déjà, puisqu'on étudie un point stationnaire)
et f"(O) = (0, 0), donc p > 2.
Puisque f"'(O) = (-1, 1) =/= (0, 0), on a p = 3, mais on a j( 4 ) (0) = (-1, 1) = f"'(O),
donc q > 4.
j( 5 )(0) = (1, 1) n'est pas colinéaire à f"'(O) donc q = 5.
Puisque pet q sont tous çieux impairs, on est en présence d'un point d'inflexion.
La tangente à la courbe en A = (0, 1) est dirigée par f"'(O) = (-1, 1). Quand
t > 0, la courbe est le long de ce vecteur, et du côté de j( 5 )(0) = (1, 1), c'est-à-dire
au-dessus.
Autres particularités
Pour t = to, en B = x(to), y(to), la courbe présente une tangente verticale.
Les variations de la fonction x montrent qu'à part A, il y a un autre point C
d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées, et en résolvant numériquement
l'équation d'inconnue t : x(t) = 0, on calcule à la calculatrice son ordonnée qui
vaut, pour t = ti ~ -2,740406183 environ Yc ~ -0,949962717.
Il y a aussi un unique point D d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses,
et on trouve à la calculatrice, que pour t = t2 ~ -2,114 207 300, son abscisse est
Xn ~ 0,425 767 299 3.
On peut maintenant tracer la courbe.