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SOLUTIONS DES EXERCICES
-OO
-1
fo
0
+oo
1
1
x'(t)
+
~
~
1
1
/
X(~)-----... 1
x(t)
1
~ ------.....
_
1
1
-OO
1
1
+oo
y(t)
1
1
1' ~
1 --------- 1
~y~~)
1
- - -
1
1
-OO
1
1
0
y'(t)
+
+
0
1
+
On trouve les valeurs approchées de x(to) et de y(to) à la calculatrice.
x(to) ~ 0,427020688
y(to) ~ 0,053 323 38
Les limites à l'infini ne sont pas vraiment difficiles, en se souvenant de la prédominance de l'exponentielle sur les polynômes. On constate qu'il y a effectivement
un point stationnaire pour t = 0, et qu'on doit étudier les branches infinies pour
t--+ ±oo.
Étude des branches infinies
Ici aussi, nous sommes obligés de séparer l'étude en +oo et celle en -oo, car et ne
s'y comporte pas de la même façon.
y(t)
et - t - f:
12
Pour t --+ -oo, on a : - ( ) = .
2 t4 ,...., 2 ----+ O.
x t
sm t - t - 24
t t---+-oo
La courbe admet donc une branche parabolique dont la direction asymptotique
est horizontale, pour t --+ -oo. La courbe est dans le quadrant en bas, à gauche,
puisque x et y tendent vers -oo.
y(t)
et - t - f:
-24et
Pour t --+ +oo, on a
- - =
2
rv - - ----+ -OO.
x(t) sin t - t - ~:
t 4
H+oo
La courbe admet donc une branche parabolique dont la direction asymptotique
est verticale, pour t--+ +oo. Remarquons qu'elle est dans le quadrant en haut à
gauche, et que la courbe va donc partir vers le haut, même si ce quotient :;; a une
limite négative; c'est normal, puisque x--+ -oo et y--+ +oo, que la limite de :;;
soit négative.
Étude du point stationnaire
Les développements limités classiques de exp et de sin permettent de trouver
immédiatement les valeurs des dérivées successives de x et de y en O.