2. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR FONCTIONS VECTORIELLES ET COURBES PARAMÉTRÉES 325
Exercice 2.8. x(t) = ~ + 3t 3 + 6t 2 + 4t
L'ensemble de définition et d'étude est R
Variations
y(t) = ~ - 6t 2 - l6t.
x'(t) = 2t 3 + 9t 2 + 12t + 4 = (t + 2)(2t 2 + 5t + 2) = (t + 2) 2 (2t + 1) (-2 était
racine « évidente »)
y'(t) = t 3 - 12t - 16 = (t + 2)(t 2 - 2t - 8) = (t + 2) 2 (t - 4)
(idem)
D'où le tableau de variation :
x'(t)
x(t)
y(t)
y'(t)
-OO
-2
-1/2
4
1
1
()
()
+
1
+
1
+oo
+oo
1
1
1
+oo
~I
1
1
/
.
9
1
4jl2/
1 '---... _21h2 _ _ , 1
1
1
1
+oo
1
1
1
+oo
---...1'2
1
1 /
1 - - - 411164......_ . 1
1
1
..........._96
b
1
1
0
1
+
On constate sur ce tableau qu'il faut étudier les branches infinies pour t--+ ±oo
et un point stationnaire pour t = -2 en A= (0, 12).
Étude des branches infinies ( t --+ ±oo)
Ona:
( )
t 4
2
y t = 4 - 6t - l6t ----+ ~.
x(t)
~ + 3t3 + 6t2 + 4t H±oo 2
On calcule alors
1
t 4 2
1 (t 4 3 2 )
y(t) - -x(t) = - - 6t - l6t - - - + 3t + 6t + 4t
2
4
2 2
33
2
33
3
= --t - 9t - l8t = --t + o(t ) ----+ =fOO
2
2
t--t±oo
La courbe admet donc deux branches paraboliques, de direction asymptotique
celle de la droite y= !x; la branche parabolique correspondant à t --+ -oo est
au-dessus de cette droite, et celle correspondant à t --+ +oo est au-dessous.
Étude du point stationnaire (t = -2)
Il est facile, ici de calculer les dérivées successives.