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SOLUTIONS DES EXERCICES
Étude du point stationnaire.
Les dérivées successives sont ici très faciles à calculer.
x"(t) = é = x"'(t) = x( 4 )(t) = ...
y"(t) = 6t + 6 ; y"'(t) = 6 ; y( 4 )(t) = 0 = ...
On a f"(O) = (1, 6) f:. (0, 0), donc p = 2, mais f"'(O) = (1, 6) est colinéaire à
f"(t) (il lui est même égal). C'est pour cela qu'on a été obligé de continuer les
calculs de dérivées. On a q > 3. Comme f( 4 )(0) = (1, 0) n'est pas colinéaire à
f"(O), on a q = 4 et la courbe présente en A, pour le paramètre t = 0, un point
de rebroussement de seconde espèce.
La tangente en ce point est dirigée par (et du côté de) f"(O), et se situe du côté
de f( 4 )(0), c'est-à-dire à droite de ce vecteur.
Une question difficile que l'on peut se poser est de positionner l'une par rapport
à l'autre au voisinage du point stationnaire la branche « arrivante » (t < 0) et
la branche « repartante » (t > 0). On peut remarquer que pour tout t > 0, on a
y(t) > y(-t). Le point M(t) est donc au-dessus du point M(-t). C'est un indice
très net que la branche « repartante » est au-dessus de la branche « arrivante ».
Nous admettrons que c'est le cas, mais soyons conscients que nous ne l'avons pas
démontré.
Autres particularités
Il y a une tangente horizontale au point A= M(-2) = (2 + e- 2 , 4) c:= (2,135; 4).
L'axe des ordonnées est coupé au point correspondant au paramètre t = -3, donc
en B = (3 + e- 3 , 0) c:= (3,050; 0).
La tangente en ce point est dirigée par le vecteur f' (-3) = ( e- 3 - 1 ; 9) c:=
(-0,950; 9).
On peut maintenant tracer la courbe.
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