2. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR FONCTIONS VECTORIELLES ET COURBES PARAMÉTRÉES 323
Variations
x'(t) =et - 1 ; y'(t) = 3t 2 + 6t.
x'(t) est clairement du signe de t, alors que y'(t) est positif à l'extérieur de ses
racines -2 et 0, d'où le tableau de variations.
-00
-2
0
+oo
1
1
x'(t)
1
(j)
+
+oo
1
+oo
x(t)
~2~e-2
/
I~ 6
1
4
1
+oo
y(t)
_/:~l /
1
1
y'(t)
+
0
0
+
Les limites sont toutes évidentes, sauf peut-être celle de x en +oo, où on utilise la
prédominance de l'exponentielle sur un polynôme.
Sur ce tableau, nous voyons qu'il faut étudier un point stationnaire pour t = 0,
en A= (1, 0) et les branches infinies pour t---+ ±oo.
Étude des branches infinies
Ici, nous sommes obligés de séparer l'étude en +oo et celle en -oo, car et ne s'y
comporte pas de la même façon.
Pour t ---+ -oo, on a
y(t) = t3 + 3t2 "'-t2--+ -OO.
x(t)
et - t
H-oo
La courbe admet donc une branche parabolique dont la direction asymptotique
est verticale, pour t ---+ -oo.
Pour t ---+ +oo, on a
y(t)
x(t)
t 3 + 3t 2 t 3
- - - "' - --+o.
et - t
et t-t+oo
La courbe admet donc une branche parabolique dont la direction asymptotique
est horizontale, pour t ---+ +oo.