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SOLUTIONS DES EXERCICES
Étude des points multiples
On cherche à résoudre, sous la condition t =f. t', le système
{
3t
3t'
(s)
(1 - t) 2 - (1 - t') 2
{::::::::}
3t - 1
3t' - 1
(1 - t)3
(1 - t')3
{
3t(l - 2t' + t' 2 ) = 3t'(l - 2t + t 2 )
{::::::::}
(3t - 1)(1 - 3t 1 + 3t' 2 - t' 3 ) = (3t' - 1)(1 - 3t + 3t 2 - t 3 )
{
3(t - t') + 3tt'(t' - t) = 0
{::::::::}
3(t - t') + 3(t' - t) + 9tt'(t' - t) - 3(t' 2 - t 2 )
-3tt'(t' 2 - t 2 ) + (t' 3 - t 3 ) = 0
{
tt'=l
{::::::::}
9(t' - t) - 6(t' - t)(t + t') + (t' - t)(t' 2 + t't + t 2 ) = 0
{
tt'=l=P
{::::::::}
9 - 68 + (8 2 - P) = 0
{
tt'=l=P
{::::::::}
8 2 - 68 + 8 = o.
On obtient donc deux systèmes : sachant que P = 1 toujours, on peut avoir S = 2
ou s = 4.
t et t' sont donc les deux racines soit de l'équation (1) T 2 - 2T + 1 = 0, soit de
l'équation (2) T 2 - 4T + 1 = O.
(1) ne convient pas, en effet, d'une part la seule racine est double (et on cherche
t =f. t'), et d'autre part cette racine est en dehors de l'ensemble de définition.
Les solutions de (2) sont ti = 2 + v'3 et t2 = 2 - v'3. M(t1) = M(t2) = D est
donc le seul point double de la courbe.
Pour l'abscisse de D, pensons à utiliser que pour i E {1, 2}, on a tr = 4ti - 1.
x(t·) _
3ti
_ 3ti _ ~ _ 1 5
i
-tr-2ti+l-2ti_2_,
L'ordonnée de D est forcément -! pour des raisons de symétrie. En effet, on a
d'une part M(t1) = M(t2), et d'autre part, puisque tit2 = P = 1, t2 =fi, donc
M(ti) et M(t2) sont symétriques par rapport à ~. Un point n'est égal à son
symétrique que s'il appartient à l'axe de la symétrie, donc D E /:).. est y(ti) = -!·
Exercice 2.7. x(t) =et - t
y(t) = t 3 + 3t 2 .
L'ensemble de définition est clairement lR et il n'y a pas de symétrie apparente.