2. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR FONCTIONS VECTORIELLES ET COURBES PARAMÉTRÉES 321
Nous pouvons à présent tracer la courbe.
Le dessin suggère deux études supplémentaires : l'une (celle qui était demandée)
consiste à montrer que la droite horizontale ~ : y = -~ est axe de symétrie;
l'autre étude consiste à déterminer les points doubles, puisque sur la figure, il y
en a clairement un.
Étude de la symétrie
Il est très difficile de faire cette étude sans la figure. Nous voyons que le point
0 = M 00 et le point A = M(O) sont symétriques. La transformation 0 f-t oo
naturelle est t f-t t. Montrons que M ( t) et M ( t) sont des points symétriques par
rapport à la droite~, ceci quel que soit t. On a
Il est très clair que x( t) = x(t), mais pour les ordonnées c'est un peu plus
compliqué. On doit montrer en fait que y(t) + y(i) = -1. Donc nous allons faire
ce calcul
1
3t - 1 3t 2 - t 3
y(t)+y( t) = (1 - t)3 + (t - 1)3
-3t + 1 + 3t 2 - t 3
(t - 1)3
La droite ~ est donc bien axe de symétrie de la courbe.
t 3 - 3t 2 + 3t - 1
~~~~~~=-1
(t - 1) 3