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SOLUTIONS DES EXERCICES
Étude du point limite (t---+ ±oo)
On pose naturellement
t--+±oo
et on calcule :
{
x00 = lim x(t) = 0
Yoo = lim y(t) = 0
t--+±oo
3t-1
y(t) - y00 _ y(t) (1-t)3 _ 3t - 1 - - t O
x(t) - X00 - x(t) {l~~) 2 - 3t(l - t) H±oo ·
Nous pouvons donc affirmer que la courbe admet au point limite 0 = (0, 0) une
tangente horizontale.
Étude de la branche infinie (t---+ 1±)
On calcule la limite du même rapport ~ (n'oublions pas qu'il vient d'être calculé) :
y(t)
3t-1
x(t) = 3t(l - t) Hit =fOO
Nous pouvons donc affirmer que la courbe admet pour t ---+ 1±, une branche
parabolique, dont la direction asymptotique est verticale. En tenant compte des
signes et du tableau de variation, on s'aperçoit que pour t ---+ 1-, la courbe
«monte» vers la droite, alors que pour t---+ 1+, le point mobile revient d'en bas,
sur la droite.
Autres particularités
Le tableau de variation montre une tangente horizontale en A= (0, -1) (t = 0)
et une tangente verticale en B = (-0,75; -0,5) (t = -1).
L'axe des ordonnées est coupé pour t = 0 en A, et l'axe des abscisses est coupé
pour t = i en C = (x(i), y(i)) = (2,25; 0).
La tangente en C est dirigée par le vecteur f'(i) = (13,5; 10,125) = 6,75(2; 1,5)