2. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR FONCTIONS VECTORIELLES ET COURBES PARAMÉTRÉES 319
.
3t
3t - 1
Exercice 2.6. x(t) = {l _ t) 2
y(t) = {l _ t)3 ·
L'ensemble de définition est~\ {1}, et il n'y a pas de symétrie évidente, de sorte
que l'étude doit être faite sur la totalité de l'ensemble de définition.
Variations.
Pour faciliter le calcul des dérivées, il est astucieux de décomposer x et y en
éléments simples :
D'où
x(t) = (1 - t)2 = (t - 1 )2 + (t - 1)
{
3t - 3 + 3
3
3
3t - 3 + 2
'i
3
y(t) = (1 - t)3 = - (t - 1)3 - (t - 1)2
{
I
6
3
-6 - 3t + 3
t + 1
X (t) = - (t - 1)3 - (t - 1)2 = (t - 1)3 = - 3 (t - 1)3
I
6
6
6 + 6t - 6
6t
y (t) = (t - 1)4 + (t - 1)3 = (t - 1)4
(t - 1)4
On en déduit le tableau de variation
x'(t)
x(t)
-1
0
1
1
t>
+
1
+
1
1
1
1/
©
O~I
-~4/:
+
+oo +oo
~o
0
1
1
+oo
~-11/2
1/
l~I
y(t)
1
-l
-OO
1
1
y'(t)
+
+
1
1
Les limites étaient toutes évidentes.
L'examen de ce tableau de variation nous permet de constater qu'il n'y a pas de
point stationnaire, mais qu'on étudiera un point limite, et une «vraie» branche
infinie.