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SOLUTIONS DES EXERCICES
puis le d.l. de ln : ln u = u - ~ 2 + ~ 3 + o( u 3 ), on obtient
( ) _ 1 - ln 2 2h - < 2 ~>
3
+ o(h 3 ) 1 (
h 2 h h 3
(h3))
xt -
-
+n 1--+ --+o
2
2
2
6
1 - ln 2
2 3
h 2 h 3
h 2 - h 3 h 3
3
=
2
- h + 3h + (h - 2 - 6) - 2 + 3 + o(h )
= 1 - ln 2 + h(-1+1) + h2( _! - ! ) + h3(~ - ! + ! + !) + o(h3)
2
2 2
3 6 2 3
x(t) = 1- ln2 - h2 + ~h3 + o(h3)
2
6
.
Comparant avec la formule de Taylor-Young correspondante, on obtient xCi) ==
1 -~n 2 ;
x'(î) = 0 (on savait déjà tout cela); x"(î) = -2; x 111 (î) = 8.
Les calculs de dérivées successives de y sont, eux, très simples, et on trouve
y" ( î) = -4 et y 111 ( î) = 0, de sorte que f" ( i) et f 111 ( i) ne sont pas colinéaires,
et p = 2, q = 3. En son point A= (1-~n 2 ; 1) c:::'. (0,1534; 1) correspondant au
paramètre i, la courbe admet un point de rebroussement de première espèce. La
tangente à la courbe y est dirigée par (et du côté de) J"(i) = (-2, -4), et pour
t > Ε la courbe est du côté de f"(i) = (8, 0), c'est-à-dire à droite.
Autres points remarquables
Au point (0, 0), correspondant au paramètre ~. la tangente est verticale; c'est
clairement le seul point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Il y a un point d'intersection avec l'axe des ordonnées, car le théorème des valeurs
intermédiaires montre que x s'annule une fois entre 0 et ~). L'équation x'(t) = 0
n'est pas résoluble algébriquement, mais on peut numériquement trouver que la solution de cette équation est to c:::'. 0,467 620 649 6, et que y( to) c:::'. 0,804 7 42 342 5. Le
point B = (0, y(to)) est le point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées.
La tangente en ce point est dirigée par f'(to) c:::'. (1,175548958; 1,18724852).
On trace maintenant la courbe en utilisant tous ces éléments. Il ne faut pas oublier
de compléter par symétrie. Le sens parcours est indiqué.
y
----·
X
-3
-1
SOLUTIONS DES EXERCICES
puis le d.l. de ln : ln u = u - ~ 2 + ~ 3 + o( u 3 ), on obtient
( ) _ 1 - ln 2 2h - < 2 ~>
3
+ o(h 3 ) 1 (
h 2 h h 3
(h3))
xt -
-
+n 1--+ --+o
2
2
2
6
1 - ln 2
2 3
h 2 h 3
h 2 - h 3 h 3
3
=
2
- h + 3h + (h - 2 - 6) - 2 + 3 + o(h )
= 1 - ln 2 + h(-1+1) + h2( _! - ! ) + h3(~ - ! + ! + !) + o(h3)
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2 2
3 6 2 3
x(t) = 1- ln2 - h2 + ~h3 + o(h3)
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Comparant avec la formule de Taylor-Young correspondante, on obtient xCi) ==
1 -~n 2 ;
x'(î) = 0 (on savait déjà tout cela); x"(î) = -2; x 111 (î) = 8.
Les calculs de dérivées successives de y sont, eux, très simples, et on trouve
y" ( î) = -4 et y 111 ( î) = 0, de sorte que f" ( i) et f 111 ( i) ne sont pas colinéaires,
et p = 2, q = 3. En son point A= (1-~n 2 ; 1) c:::'. (0,1534; 1) correspondant au
paramètre i, la courbe admet un point de rebroussement de première espèce. La
tangente à la courbe y est dirigée par (et du côté de) J"(i) = (-2, -4), et pour
t > Ε la courbe est du côté de f"(i) = (8, 0), c'est-à-dire à droite.
Autres points remarquables
Au point (0, 0), correspondant au paramètre ~. la tangente est verticale; c'est
clairement le seul point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Il y a un point d'intersection avec l'axe des ordonnées, car le théorème des valeurs
intermédiaires montre que x s'annule une fois entre 0 et ~). L'équation x'(t) = 0
n'est pas résoluble algébriquement, mais on peut numériquement trouver que la solution de cette équation est to c:::'. 0,467 620 649 6, et que y( to) c:::'. 0,804 7 42 342 5. Le
point B = (0, y(to)) est le point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées.
La tangente en ce point est dirigée par f'(to) c:::'. (1,175548958; 1,18724852).
On trace maintenant la courbe en utilisant tous ces éléments. Il ne faut pas oublier
de compléter par symétrie. Le sens parcours est indiqué.
y
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X
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