2. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR FONCTIONS VECTORIELLES ET COURBES PARAMÉTRÉES 317
, .
'( ) cos 2t
,
. ·rd
I '( )
D'autre part on peut ecnre x t = - - , et, tant etant pos1ti ans , x t est
tant
du signe de cos2t, donc x'(t) > 0 pour t < Î (car cos est décroissante sur ]0,7r],
intervalle décrit par 2t lorsque t décrit J).
y' a clairement le même signe que x'.
On peut donc dresser le tableau de variations. Toutes les valeurs et les limites
sont évidentes à calculer.
0
x'(t)
+
x(t)
7t/4
b
1
7t/2
0
y(t)
li
,~:~,
y'(t)
+
0
1
La lecture de ce tableau révèle la présence d'un branche infinie en t -t 0, et d'un
point stationnaire en t = î ·
La branche infinie est évidente, il s'agit d'une asymptote horizontale d'équation
y= o.
Étude du point stationnaire (t = î)
Pour éviter de calculer des dérivées successives compliquées, nous allons utiliser
des développements limités pour x. Comme c'est en î que se situe notre étude,
il nous faut faire un changement de variable pour nous ramener en O. On pose
t = î + h. On a donc
x(t) = cos 2 (î + h) + ln[sin(î + h)]
2
= (cos î cos h - sin î sin h) + ln (sin î cos h + cos i sin h)
x(t) = ~(1 - sin 2h) - 1 ~ 2 +ln( cos h +sin h).
en utilisant les développements limités au voisinage de 0 de sin et cos à l'ordre 3,