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SOLUTIONS DES EXERCICES
Pour M = M(t), on a x = x(t) = 2cost + cos2t et y= y(t) = 2sint - sin2t de
sorte que l'image M ( t) a pour coordonnées
{
X = -(2 cos t +cos 2t) - (2 sin t - sin 2t)V3
y= (2cost + cos2t)Â- (2sint- sin2t).
2
Or, le point M ( t + 2 ; ) a pour coordonnées
271"
271"
471"
x(t + 3 ) = 2cos(t + 3 ) + cos(2t + 3 )
-2 cos t - 2 sin tJ3 - cos 2t +sin 2tV3
2
27!"
.
27!"
•
47!"
y(t + 3 ) = 2 sm(t + 3 ) - sm(2t + 3 )
-2 sin t + 2 cos tJ3 +sin 2t +cos 2tJ3
2
On constate, en comparant les expressions leurs coordonnées, que M'(t) = M(t +
2 ;), ce qui achève cette démonstration.
E
.
{x(t) = cos 2 t + ln(sin t)
xerc1ce 2.5.
y(t) = 2sintcost = sin2t
Domaine d'étude
La fonction x n'est définie que si sin t > 0, et x et y sont clairement deux fonctions
27r-périodiques, donc on peut déjà se limiter à JO, 7r[, mais, on constate que
x(7r - t) = x(t)
alors que
y(7r - t) = -y(t)
Les points M(7r - t) et M(t) sont donc symétriques par rapport à l'axe des
abscisses (voir figure (2.2) p. 39, car la situation est analogue).
On peut donc se contenter d'étudier cette fonction vectorielle sur JO, ;J = 1, puis
compléter la courbe par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
Variations
x'(t) = -2costsint+-c~_s_t = cost (-2sint+-.- 1 -)
smt
smt
cost(l -2sin 2 t)
cost cos(2t)
-
=
sin t
sin t
y' (t) = 2 cos 2t.
{
cos t = 0 {::::::::} t = ;
Pour t EJO, ;J, on a x'(t) = 0 {::::::::}
ou
cos 2t = 0 {::::::::} t = î .