314
SOLUTIONS DES EXERCICES
En fait, il se trouve que les variations de x et y, ainsi que la symétrie de la courbe
par rapport à l'axe des abscisses ne laissaient pas beaucoup d'autre choix que
celui-ci pour la nature du point singulier en t = 0 (la seule autre possibilité était
un point « ordinaire » avec tangente verticale}.
t - 271"
~
On pourrait faire un développement limité de x et de y au voisinage de 2 ; , mais
ici ces fonctions sont faciles à dériver plusieurs fois, alors que le changement de
variable t = 2 ; + u semble plus lourd à manier. On a
Pour t = 2 ; ,
x" ( t) = - 2 cos t - 4 cos 2t
y" ( t) = - 2 sin t + 4 sin 2t
x"' ( t) = 2 sin t + 8 sin 2t
y"' (t) = -2 cos t + 8 cos 2t
x"( 2 ; ) = -2cos 2 ; - 4cos 4 ; = 1+2 = 3
271'
. 271'
. 471'
v'3 v'3
v'3
x"'( 3 ) = 2sm 3 + 8sm 3 = 3 - 4 3 = -3 3
y"( 2 ; ) = -2sin 2 ; + 4sin 4; = -J3- 2v'3 = -3v'3
"' ( 271')
271'
471'
y -
= -2 cos - + 8 cos - = 1 - 4 = -3
3
3
3
Nous trouvons que (x"(2{), y"( 2 {)) = (3, -3v'3) et (x"'( 2 ;), y"'(2{)) = (-3v'3, -3).
Comme ces vecteurs ne sont pas colinéaires, la courbe présente au point singulier
( x(2;), y( 2 ; ) ) = ( - ~, 3 'f) un point de rebroussement de première espèce, avec
une tangente dirigée par le vecteur (3, -3v'3).
Remarquons que ce vecteur est colinéaire au vecteur oM = ( - ~, 3 'f), donc la
tangente passe par l'origine du repère. De plus pour t légèrement plus grand que
2 ; , la courbe se trouve du côté de (-3v'3, -3).
Intersections avec les axes
On a y(t) = 0 {::::::::} 2 sin t(l - cos t) = 0 {::::::::} (sin t = 0 ou cos t = 1). Pour
t dans l'intervalle d'étude, ceci n'a lieu que pour t = 0 et t = 71' et on savait déjà
que pour ces points, la courbe coupait l'axe des abscisses.
-l±v'3
x ( t) = 0 {::::::::} 2 cos 2 t + 2 cos t - 1 = 0 {::::::::} cos t =
; seule la
2
. v'3-1
v'3-1
valeur
2
est entre -1 et 1, donc x ( t) = 0 {::::::::} t = arccos 2 pour t
dans l'intervalle d'étude. Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées a pour