2. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR FONCTIONS VECTORIELLES ET COURBES PARAMÉTRÉES 313
Les seules valeurs de t qui conviennent dans l'intervalle d'étude sont 0, 2 ; et 7r.
Entre ces valeurs, par continuité, on est sûr que x' garde un signe constant, et en
calculant par exemple x' ( ~) = - 2 < 0 et x' ( 3 ; ) = 2 - J2 > 0 on connaît le signe
de x'.
{
t = 2t + k27r
De même, y' ( t) = 0 {::::::::} cos t = cos 2t {::::::::}
ou
t = -2t + k27r
(k E Z)
Sur l'intervalle d'étude, seules conviennent les valeurs 0 et 2 ; , et puisque y'(~) =
2 > 0 et y' ( 3 ; ) = -J2 < 0 le signe de y' est déterminé.
On peut donc dresser le tableau de variation.
0
x'(t)
0
211:/3
b
1
+
0
3
1
-1
x(r)
~-3i2~
3\(3/2
y(t)
~ 1 - - - - - -
0 ~
:
~ 0
1
y'(t)
0
+
0
Ce tableau montre l'existence de deux points singuliers, pour t = 0 et pour
t = 27r/3. Il y a aussi une tangente verticale pour t = 7r. Il n'y a pas de branche
infinie.
Étude des points singuliers
t = 0 : La méthode des développements limités peut s'appliquer facilement :
Un développement limité à l'ordre 3 de x et de y s'écrit :
t 2
(2t) 2
x(t) = 2(1- 2 !)+1- 2! + t 3 ê1(t) = 3 - 3t 2 + t 3 ê1 (t)
t 3
(
(2t) 3 )
y(t) = 2(t - - 31 ) - (2t) - - 31
+ t 3 ê2(t) = t 3 + t 3 ê2(t) lim êi(t) = 0 (i = 1, 2)
.
•
t--+0
Ce développement limité confirme que pour t = 0, le point correspondant est
en (3,0), que c'est un point stationnaire, et précise que (x"(O),y"(O)) = (-6,0)
et (x"'(O), y"'(O)) = (0, 6). Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, on est sûr
d'avoir affaire à un point de rebroussement de première espèce, dont la tangente
est dirigée par (-6, 0), et telle que pour t > 0, on est du côté de (0, 6).