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SOLUTIONS DES EXERCICES
les variations de y et de x, que ce point limite est un point d'inflexion : la courbe
« traverse » sa tangente en ce point limite.
Intersection avec les axes : il suffit de résoudre x = 0 d'une part pour avoir
l'intersection avec l'axe des ordonnées et y = 0 d'autre part pour avoir l'intersection
avec l'axe des abscisses.
On trouve que la courbe coupe l'axe des ordonnées pour t = 0, au point (0, -4),
la tangente en ce point étant dirigée par le vecteur ( x' ( 0) , y' ( 0)) = ( 8, 8).
La courbe coupe l'axe des abscisses pour t = ~ au point (1 5 6 , 0), la tangente en ce
point est dirigée par le vecteur ( x' ( ~), y' ( ~)) = ( ~~ , 1 2 ~ 8 ) qui est colinéaire à ( 3, 4).
N'oublions pas que le point limite, pour t --+ oo est aussi sur les axes, puisqu'il est
à l'origine.
Le sens de parcours est indiqué sur la figure ; au point de rebroussement, le vecteur
dessiné en trait plein est proportionnel et de même sens que (x"(t), y"(t)), et celui
en pointillés est proportionnel à (x 111 (t), y 111 (t)) et de même sens.
I
I
I
Exercice 2.4. x(t) = 2 cos t +cos 2t
y(t) = 2sint -sin2t
Les fonctions x et y sont définies sur~; elles sont également 27r-périodiques, et x
est paire alors que y est impaire. On étudiera donc cette courbe pour t E [O, 7r]
puis on complétera par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
On a x'(t) = -2sin t - 2 sin 2t et y'(t) = 2 cos t - 2 cos 2t. Pour t E [O, 7r], x'(t)
s'annule lorsque
{
t = -2t + k21f
sin t = sin(-2t) {:::=}
ou
t = 1f + 2t + k21f
(k E Z).