2. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR FONCTIONS VECTORIELLES ET COURBES PARAMÉTRÉES 311
t = 1 + u (pour se ramener en 0) et on a:
B(l + u)
x(t) = x = (1+u)2+1
B(l + u) - 4
4 +Bu
B+~u
2 + 2u+u 2
4+Bu
y(t) =Y= ((1+u)2+1)2 = (2 + 2u + u2)2 4 + Bu + Bu 2 + 4u3 + u4
Pour continuer, on effectue la division selon les puissances croissantes des numérateurs par les dénominateurs, à l'ordre 3 et on obtient
B +Bu= (2 + 2u + u 2 )(4 - 2u 2 + 2u 3 ) + (-2u 4 - 2u 5 )
4 +Bu= (4 +Bu+ Bu 2 + 4u 3 + u 4 )(1 - 2u 2 + 3u 3 ) + (-9u 4 - 16u 5 - 10u 6 - 3u 7 );
en fait, on n'était pas du tout obligé de conserver les termes de degré 4 et plus
dans les restes puisqu'on écrit, maintenant :
x(t) = x(l + u) = 4 - 2u 2 + 2u 3 + u 3 c1(u)
y(t) = y(l + u) = 1 - 2u 2 + 3u 3 + u 3 c2(u) avec lim éi(u) = Opour i = 1, 2
u-+0
Ceci est le développement limité à l'ordre 3 de x et de y au voisinage de 1, et
on a donc x(l) = 4; y(l) = 1; x'(l) = y'(l) = 0 (on savait déjà tout cela), mais
surtout, ce qui est plus intéressant :
x"(l) = -4 = y"(l)
x"'(l) = 12, y"'(l) = lB
h2
h3
(Taylor-Young dit que f(xo+h) = f(xo) +hf'(xo) + 2T J"(xo) + 3f J"'(xo)+h 3 c(h)
Il ne faut pas oublier les dénominateurs).
Puisque (-4, -4) et (12, lB) ne sont pas proportionnels, on sait qu'en 1 la courbe
présente un point de rebroussement de première espèce, que la tangente est dirigée
par (x"(l), y"(l)) et que pour t plus grand que 1, la courbe est le long de cette
tangente, bien sûr, mais du côté du vecteur (x"'(l),y"'(l)). Sur le dessin, on ne
représentera pas forcément ces deux vecteurs s'ils sont trop longs, mais on dessinera
des vecteurs proportionnels de même sens qui ont une longueur représentable.
Tangente au point limite (0, 0) (pour t -+ ±oo)
On étudiera la limite pour t-+ oo du taux d'accroissement
y(t) - 0
Bt - 4
T -
- ----=---- x(t) - 0 - Bt(t2 + 1)
Il est clair que cette quantité tend vers 0 pour t-+ ±oo. On peut conclure que
la tangente à la courbe en ce point limite est horizontale (elle a un coefficient
directeur égal à 0). On peut remarquer sans aucun calcul, en observant simplement
t = 1 + u (pour se ramener en 0) et on a:
B(l + u)
x(t) = x = (1+u)2+1
B(l + u) - 4
4 +Bu
B+~u
2 + 2u+u 2
4+Bu
y(t) =Y= ((1+u)2+1)2 = (2 + 2u + u2)2 4 + Bu + Bu 2 + 4u3 + u4
Pour continuer, on effectue la division selon les puissances croissantes des numérateurs par les dénominateurs, à l'ordre 3 et on obtient
B +Bu= (2 + 2u + u 2 )(4 - 2u 2 + 2u 3 ) + (-2u 4 - 2u 5 )
4 +Bu= (4 +Bu+ Bu 2 + 4u 3 + u 4 )(1 - 2u 2 + 3u 3 ) + (-9u 4 - 16u 5 - 10u 6 - 3u 7 );
en fait, on n'était pas du tout obligé de conserver les termes de degré 4 et plus
dans les restes puisqu'on écrit, maintenant :
x(t) = x(l + u) = 4 - 2u 2 + 2u 3 + u 3 c1(u)
y(t) = y(l + u) = 1 - 2u 2 + 3u 3 + u 3 c2(u) avec lim éi(u) = Opour i = 1, 2
u-+0
Ceci est le développement limité à l'ordre 3 de x et de y au voisinage de 1, et
on a donc x(l) = 4; y(l) = 1; x'(l) = y'(l) = 0 (on savait déjà tout cela), mais
surtout, ce qui est plus intéressant :
x"(l) = -4 = y"(l)
x"'(l) = 12, y"'(l) = lB
h2
h3
(Taylor-Young dit que f(xo+h) = f(xo) +hf'(xo) + 2T J"(xo) + 3f J"'(xo)+h 3 c(h)
Il ne faut pas oublier les dénominateurs).
Puisque (-4, -4) et (12, lB) ne sont pas proportionnels, on sait qu'en 1 la courbe
présente un point de rebroussement de première espèce, que la tangente est dirigée
par (x"(l), y"(l)) et que pour t plus grand que 1, la courbe est le long de cette
tangente, bien sûr, mais du côté du vecteur (x"'(l),y"'(l)). Sur le dessin, on ne
représentera pas forcément ces deux vecteurs s'ils sont trop longs, mais on dessinera
des vecteurs proportionnels de même sens qui ont une longueur représentable.
Tangente au point limite (0, 0) (pour t -+ ±oo)
On étudiera la limite pour t-+ oo du taux d'accroissement
y(t) - 0
Bt - 4
T -
- ----=---- x(t) - 0 - Bt(t2 + 1)
Il est clair que cette quantité tend vers 0 pour t-+ ±oo. On peut conclure que
la tangente à la courbe en ce point limite est horizontale (elle a un coefficient
directeur égal à 0). On peut remarquer sans aucun calcul, en observant simplement