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SOLUTIONS DES EXERCICES
'( ) = 8 (t 2 + 1) - t(2t) = 8(1 - t 2 )
X t
(t2 + 1)2
(t2 + 1)2
'( ) = 4 2(t 2 + 1) 2 - (2t - 1)2(t 2 + 1)(2t) = 8 (t 2 + 1) - (2t - 1)(2t)
y t
(t2 + 1)4
(t2 + 1)3
8(-3t 2 +2t+1)
-
(t2 + 1)3
x' s'annule pour 1 et -1 et y' s'annule pour 1 (racine «évidente») et -k; le
coefficient dominant des trinômes du numérateur de ces deux fonctions étant
négatif, elles sont négatives à l'extérieur de leurs racines et on a le tableau de
variation suivant.
x'(t)
x(t)
y(t)
y'(t)
-00
-1
-1/3
1
1
~
1
0
1
+
+
""1
1 /
~ 1
-12(5
4 /
1
1
o~-~
: /
: ~-2~/5
CD
+
+oo
1
tll
1
41
1
~
11 ~
0
(j)
Ce tableau indique clairement qu'il n'y a pas de branche infinie : même à l'infini,
on a un point limite (0, 0), où l'on étudiera la tangente, mais ce n'est pas une
branche infinie.
En revanche, il y a un point singulier pour t = 1, et nous allons étudier la nature
de ce point singulier. D'autre part, il y a une tangente verticale en (-4, 3) et une
tangente horizontale en (-2,4; -5,4).
Étude du point singulier.
Pour ce type de fonction, les calculs de x"(t), y"(t), x"'(t), y"'(t), ... seraient
épouvantables, et il faut absolument éviter de se lancer dans de tels « travaux
forcés».
En revanche, puisqu'on a seulement besoin des dérivées successives en 1, on va
calculer le développement limité de x et de y au voisinage de 1. Pour cela, on pose