2. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR FONCTIONS VECTORIELLES ET COURBES PARAMÉTRÉES 307
On peut donc affirmer que la droite d'équation y= 2x - ~ est asymptote oblique
à la courbe.
On étudie alors la position relative de la courbe et de l'asymptote oblique et pour
cela on étudie le signe de
D.( ) = -( 2 _ 2) = _ 2 x ~ = t(t - 2) ~ = 2t 2 - 4t + 3t - 3 = (t + 1)(2t - 3).
t
y
X
2
y
+2
t-1 +2
2(t-1)
2(t-1)
Le signe de D.(t) se détermine suivant les valeurs de t avec un simple tableau de
signe. Mais au voisinage de t = -1, ~! = ~ est proche de~' donc positif, et D.(t) a
donc le signe de t + 1, ce qui fait que si n~.::::"f, on peut affirmer que la courbe est
au-dessus de l'asymptote (et en haut, à droite de la figure, puisque x et y tendent
vers +oo ' alors que si n~.:::"f, la courbe est au-dessous de l'asymptote (et en bas,
à gauche de la figure, puisque x et y tendent vers -oo).
Il n'y a pas de point singulier, puisque x' et y' ne s'annulent pas simultanément
(en fait x' ne s'annule jamais.)
Mais une première esquisse de la courbe montre la présence d'un point double
que nous allons déterminer. Il y a point multiple lorsque pour ti =F t2, on a :
Dans ce calcul, on s'est permis de simplifier par (t1 - t2) puisqu'on cherche ti
et t2 vérifiant ti =F t2; d'autre part, on a posé S = ti + t2 (S comme somme) et
P = tit2 (P comme produit).
ti et t2 sont donc les deux solutions réelles de l'équation du second degré :
t 2 - t - 1 = 0 {::::::=? t 2 = t + 1 {::::::=? t = t 2 - 1.
Pour t = t1 ou t = t2, dans l'expression de x(t) comme dans l'expression de
y(t), le numérateur et le dénominateur sont égaux, donc le point double a pour
coordonnées ( 1, 1).
Nous nous sommes ainsi dispensés de calculs fastidieux : les valeurs { i+ 2 V5, 1 - / 5 }
de { ti, t2} (il s'agit des « nombres d'or») auraient été compliquées à manier.
On cherche les tangentes aux points particuliers : déterminons en ce point double
les deux tangentes. On pourrait bien sûr travailler avec des valeurs approchées
pour estimer x'(ti) et y'(ti) pour i E {1, 2}, mais nous allons exposer ici une
méthode exacte relativement simple pour ce calcul.
On peut donc affirmer que la droite d'équation y= 2x - ~ est asymptote oblique
à la courbe.
On étudie alors la position relative de la courbe et de l'asymptote oblique et pour
cela on étudie le signe de
D.( ) = -( 2 _ 2) = _ 2 x ~ = t(t - 2) ~ = 2t 2 - 4t + 3t - 3 = (t + 1)(2t - 3).
t
y
X
2
y
+2
t-1 +2
2(t-1)
2(t-1)
Le signe de D.(t) se détermine suivant les valeurs de t avec un simple tableau de
signe. Mais au voisinage de t = -1, ~! = ~ est proche de~' donc positif, et D.(t) a
donc le signe de t + 1, ce qui fait que si n~.::::"f, on peut affirmer que la courbe est
au-dessus de l'asymptote (et en haut, à droite de la figure, puisque x et y tendent
vers +oo ' alors que si n~.:::"f, la courbe est au-dessous de l'asymptote (et en bas,
à gauche de la figure, puisque x et y tendent vers -oo).
Il n'y a pas de point singulier, puisque x' et y' ne s'annulent pas simultanément
(en fait x' ne s'annule jamais.)
Mais une première esquisse de la courbe montre la présence d'un point double
que nous allons déterminer. Il y a point multiple lorsque pour ti =F t2, on a :
Dans ce calcul, on s'est permis de simplifier par (t1 - t2) puisqu'on cherche ti
et t2 vérifiant ti =F t2; d'autre part, on a posé S = ti + t2 (S comme somme) et
P = tit2 (P comme produit).
ti et t2 sont donc les deux solutions réelles de l'équation du second degré :
t 2 - t - 1 = 0 {::::::=? t 2 = t + 1 {::::::=? t = t 2 - 1.
Pour t = t1 ou t = t2, dans l'expression de x(t) comme dans l'expression de
y(t), le numérateur et le dénominateur sont égaux, donc le point double a pour
coordonnées ( 1, 1).
Nous nous sommes ainsi dispensés de calculs fastidieux : les valeurs { i+ 2 V5, 1 - / 5 }
de { ti, t2} (il s'agit des « nombres d'or») auraient été compliquées à manier.
On cherche les tangentes aux points particuliers : déterminons en ce point double
les deux tangentes. On pourrait bien sûr travailler avec des valeurs approchées
pour estimer x'(ti) et y'(ti) pour i E {1, 2}, mais nous allons exposer ici une
méthode exacte relativement simple pour ce calcul.