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{
t
x(t) = t21
Exercice 2.2.
t2
y(t) = - ·
t+l
SOLUTIONS DES EXERCICES
L'ensemble de définition de la fonction à valeurs dans ~ 2 que l'on étudie est
l'intersection des deux ensembles de définition de x et de y; c'est donc~\ {-1, 1}.
y n'a pas de parité ou périodicité particulière, donc bien que x soit une fonction
impaire, on ne peut pas réduire l'intervalle d'étude.
I
t 2 - 1 - t(2t)
-t 2 - 1
X (t) = (t2 - 1)2 = (t2 - 1)2 < 0 j
'(t) = 2t(t + 1) - t 2 = t(t + 2)
y
(t+ 1)2
(t+ 1)2
y'(t) est du signe de t(t + 2), on peut donc faire le tableau de variation.
t
-OO
-2
-1
0
1
+oo
x'(t)
0
+~
.
0
x(t)
+oo
y(t)
y'(t)
+
+
+
Les limites de x et de y sont toutes très simples à calculer.
Ce tableau montre que la courbe admet l'axe des ordonnées comme asymptote
verticale pour t ---+ ±oo ( x ---+ 0 et y ---+ oo) et la droite d'équation y = !
comme asymptote horizontale, pour t ---+ 1 (x ---+ oo et y ---+ !). D'autre part,
on constate qu'il y a une branche infinie à étudier pour t---+ -1, puisque x et y
tendent simultanément vers l'infini. On remarque des tangentes horizontales pour
t = -2 et t = 0, respectivement au point de coordonnées (-~, -4) et au point de
coordonnées (0, 0).
Étude de la branche infinie.
On calcule
y
X
On calcule ensuite
t2
__ t_+t_l __ = t(t - 1) ----+ 2.
t-+-l
(t - l)(t + 1)
_ 2 x = ~ _ 2
t
= t 3 - t 2 - 2t = t(t- 2) ----+ -~·
y
t + 1
(t - l)(t + 1)
(t - l)(t + 1)
t - 1 H-1 2